Bu soruda, parçalı tanımlı bir fonksiyonun belirli bir noktadaki sol ve sağ limitlerini bulup toplamamız istenmektedir. Fonksiyonumuz $f(x) = \begin{cases} 3x^2 - 1, & x < 2 \\ 2x + 5, & x \ge 2 \end{cases}$ şeklindedir.
Bir fonksiyonun belirli bir noktaya soldan yaklaşırkenki limitini bulmak için, o noktanın solundaki tanım aralığına karşılık gelen fonksiyon kuralını kullanırız. Burada $x \to 2^-$ demek, $x$'in $2$'den küçük değerlerle $2$'ye yaklaştığı anlamına gelir. Fonksiyon tanımına göre $x < 2$ için $f(x) = 3x^2 - 1$ kuralını kullanmalıyız.
Bu durumda, limiti hesaplayalım:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x^2 - 1)$
Limit alma işlemi için $x$ yerine $2$ yazabiliriz, çünkü bu bir polinom fonksiyondur ve her noktada süreklidir:
$3(2)^2 - 1 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$
Yani, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 11$ olarak bulunur.
Bir fonksiyonun belirli bir noktaya sağdan yaklaşırkenki limitini bulmak için, o noktanın sağındaki tanım aralığına karşılık gelen fonksiyon kuralını kullanırız. Burada $x \to 2^+$ demek, $x$'in $2$'den büyük veya eşit değerlerle $2$'ye yaklaştığı anlamına gelir. Fonksiyon tanımına göre $x \ge 2$ için $f(x) = 2x + 5$ kuralını kullanmalıyız.
Bu durumda, limiti hesaplayalım:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x + 5)$
Limit alma işlemi için $x$ yerine $2$ yazabiliriz, çünkü bu da bir polinom fonksiyondur ve her noktada süreklidir:
$2(2) + 5 = 4 + 5 = 9$
Yani, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 9$ olarak bulunur.
Soruda bizden $\lim_{x \to 2^-} f(x) + \lim_{x \to 2^+} f(x)$ ifadesinin değeri istenmektedir. Bulduğumuz sol ve sağ limit değerlerini toplayalım:
$11 + 9 = 20$
Bu ifadenin değeri $20$'dir.
Cevap E seçeneğidir.
