$f(x) = (x^2 - 3x + 1)^4$ olduğuna göre, $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $4(x^2 - 3x + 1)^3 (2x - 3)$
B) $(x^2 - 3x + 1)^3 (2x - 3)$
C) $4(x^2 - 3x + 1)^3$
D) $4(2x - 3)^3$
E) $4(x^2 - 3x + 1)^3 (x - 3)$
Bu soruyu çözmek için, bileşke fonksiyonların türevini alırken kullandığımız Zincir Kuralı'nı uygulamamız gerekiyor. Zincir Kuralı, bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon olduğunda türev almamızı sağlar.
- Öncelikle, verilen fonksiyonu inceleyelim: $f(x) = (x^2 - 3x + 1)^4$. Bu fonksiyon, bir iç fonksiyonun ($x^2 - 3x + 1$) bir dış fonksiyonun (kuvvet alma işlemi, yani $(\cdot)^4$) içine yerleştirilmesiyle oluşmuştur.
- Zincir Kuralı'na göre, $f(x) = [g(x)]^n$ şeklindeki bir fonksiyonun türevi $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ formülüyle bulunur. Burada $g(x)$ iç fonksiyon, $n$ ise kuvvettir.
- Bizim durumumuzda:
- İç fonksiyon $g(x) = x^2 - 3x + 1$
- Kuvvet $n = 4$
- Şimdi, iç fonksiyonun türevini ($g'(x)$) bulalım:
- $g(x) = x^2 - 3x + 1$
- $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(1)$
- $g'(x) = 2x - 3 + 0$
- Yani, $g'(x) = 2x - 3$
- Son olarak, Zincir Kuralı formülünü uygulayarak $f'(x)$'i bulalım:
- $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
- $f'(x) = 4 \cdot (x^2 - 3x + 1)^{4-1} \cdot (2x - 3)$
- $f'(x) = 4 \cdot (x^2 - 3x + 1)^3 \cdot (2x - 3)$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
