Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilir olması için, o noktada sürekli olması ve o noktada keskin bir köşe, kırılma veya dikey bir teğet olmaması gerekir. Matematiksel olarak, bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasında türevlenebilir olması için, aşağıdaki limitin var olması ve sonlu bir değer olması gerekir:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Bu limitin var olması için, sol taraftan ve sağ taraftan yaklaşımların (sol ve sağ türevlerin) birbirine eşit olması gerekir. Şimdi, verilen her bir fonksiyonu $x=0$ noktasında inceleyelim:
- A) $f(x) = x^2$
- Bu fonksiyonun türevi $f'(x) = 2x$'tir.
- $x=0$ noktasındaki türevi $f'(0) = 2(0) = 0$'dır.
- Türev $x=0$ noktasında mevcuttur ve sonludur. Dolayısıyla, $f(x) = x^2$ fonksiyonu $x=0$ noktasında türevlenebilirdir.
- B) $g(x) = |x|$
- Mutlak değer fonksiyonu $g(x) = |x|$ şu şekilde tanımlanır:
- $g(x) = x$ eğer $x \ge 0$ ise
- $g(x) = -x$ eğer $x < 0$ ise
- $x=0$ noktasındaki türevi limit tanımını kullanarak inceleyelim:
- Sol taraftan türev: $\lim_{h \to 0^-} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$ (çünkü $h < 0$ olduğunda $|h| = -h$).
- Sağ taraftan türev: $\lim_{h \to 0^+} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$ (çünkü $h > 0$ olduğunda $|h| = h$).
- Sol taraftan türev ($-1$) ve sağ taraftan türev ($1$) birbirine eşit değildir. Bu nedenle, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun $x=0$ noktasında türevi yoktur.
- Geometrik olarak, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiği $x=0$ noktasında keskin bir köşe (bir "V" şekli) oluşturur. Keskin köşelerde türev mevcut değildir.
- C) $h(x) = e^x$
- Bu fonksiyonun türevi $h'(x) = e^x$'tir.
- $x=0$ noktasındaki türevi $h'(0) = e^0 = 1$'dir.
- Türev $x=0$ noktasında mevcuttur ve sonludur. Dolayısıyla, $h(x) = e^x$ fonksiyonu $x=0$ noktasında türevlenebilirdir.
- D) $k(x) = \sin(x)$
- Bu fonksiyonun türevi $k'(x) = \cos(x)$'tir.
- $x=0$ noktasındaki türevi $k'(0) = \cos(0) = 1$'dir.
- Türev $x=0$ noktasında mevcuttur ve sonludur. Dolayısıyla, $k(x) = \sin(x)$ fonksiyonu $x=0$ noktasında türevlenebilirdir.
- E) $m(x) = \cos(x)$
- Bu fonksiyonun türevi $m'(x) = -\sin(x)$'tir.
- $x=0$ noktasındaki türevi $m'(0) = -\sin(0) = 0$'dır.
- Türev $x=0$ noktasında mevcuttur ve sonludur. Dolayısıyla, $m(x) = \cos(x)$ fonksiyonu $x=0$ noktasında türevlenebilirdir.
Yukarıdaki analizlere göre, sadece $g(x) = |x|$ fonksiyonu $x=0$ noktasında türevlenebilir değildir.
Cevap B seçeneğidir.
