12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 8. senaryo meb Test 2

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, 1)$

B) $(1, 3)$

C) $(3, \infty)$

D) $(-\infty, 3)$

E) $(1, \infty)$

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için, o fonksiyonun birinci türevini alıp, türevin negatif olduğu aralıkları belirlememiz gerekir. Hadi adımları dikkatlice takip ederek bu soruyu çözelim:

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

Öncelikle, bize verilen $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ fonksiyonunun birinci türevini ($f'(x)$) almalıyız. Türev alma kurallarını hatırlayalım:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(1)$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

• Adım 2: Kritik Noktaları Bulma

Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevin işaret değiştirdiği noktaları bulmalıyız. Bu noktalar, türevin sıfır olduğu noktalardır ve bunlara kritik noktalar denir.

$f'(x) = 0$ denklemini çözerek kritik noktaları bulalım:

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

Bu denklemi daha basit hale getirmek için her terimi 3'e bölebiliriz:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 3, toplamları -4 olan iki sayı -1 ve -3'tür:

$(x - 1)(x - 3) = 0$

Buradan kritik noktalarımız $x = 1$ ve $x = 3$ olarak bulunur.

• Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma ve Aralıkları Test Etme

Kritik noktalar $x=1$ ve $x=3$, sayı doğrusunu üç farklı aralığa ayırır: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ ve $(3, \infty)$. Bu aralıkların her birinde $f'(x)$'in işaretini inceleyerek fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu belirleyebiliriz.

Aralık $(-\infty, 1)$ için: Bu aralıktan rastgele bir test değeri seçelim, örneğin $x = 0$.

$f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9$

Türev pozitif ($f'(0) > 0$) olduğu için, fonksiyon bu aralıkta artandır.

Aralık $(1, 3)$ için: Bu aralıktan rastgele bir test değeri seçelim, örneğin $x = 2$.

$f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$

Türev negatif ($f'(2) < 0$) olduğu için, fonksiyon bu aralıkta azalandır.

Aralık $(3, \infty)$ için: Bu aralıktan rastgele bir test değeri seçelim, örneğin $x = 4$.

$f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9$

Türev pozitif ($f'(4) > 0$) olduğu için, fonksiyon bu aralıkta artandır.

• Adım 4: Azalan Aralığı Belirleme

Yaptığımız işaret incelemesine göre, fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralık $(1, 3)$'tür. Bu da fonksiyonun bu aralıkta azalan olduğu anlamına gelir.

Cevap B seçeneğidir.