12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 8. senaryo meb Test 3

$f(x) = (2x - 3)^5$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $5(2x - 3)^4$

B) $10(2x - 3)^4$

C) $2(2x - 3)^4$

D) $5(2x - 3)^6$

E) $10(2x - 3)^6$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir bileşke fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = (2x - 3)^5$. Bu tür fonksiyonların türevini alırken "Zincir Kuralı" adı verilen önemli bir türev kuralını kullanırız.

• 1. Fonksiyonu Tanıyalım:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = (2x - 3)^5$ şeklindedir. Bu, bir fonksiyonun (yani $2x - 3$) başka bir fonksiyonun (yani $x^5$) içine yerleştirilmesiyle oluşmuş bir bileşke fonksiyondur.

• 2. Hangi Türev Kurallarını Kullanacağız?

  Bu tür fonksiyonların türevini alırken "Kuvvet Kuralı" ve "Zincir Kuralı"nı birlikte kullanırız:

  • Kuvvet Kuralı: Eğer $g(u) = u^n$ ise, türevi $g'(u) = n \cdot u^{n-1}$'dir.
  • Zincir Kuralı: Eğer $f(x) = [u(x)]^n$ şeklinde bir fonksiyonun türevini alıyorsak, formül $f'(x) = n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$ şeklindedir. Yani, dış fonksiyonun türevini alıp, iç fonksiyonun türeviyle çarparız.
• 3. İç ve Dış Fonksiyonları Belirleyelim:

  Fonksiyonumuz $f(x) = (2x - 3)^5$ ifadesinde:

  • İç fonksiyonumuz $u(x) = 2x - 3$'tür.
  • Dış fonksiyonumuz ise $u^5$ şeklindedir, burada kuvvet $n = 5$'tir.
• 4. İç Fonksiyonun Türevini Alalım:

  Şimdi iç fonksiyonumuz olan $u(x) = 2x - 3$'ün türevini, yani $u'(x)$'i bulalım:

  • $u'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3)$
  • Türev alma kurallarına göre, $2x$'in türevi $2$ ve sabit sayı $3$'ün türevi $0$'dır.
  • Dolayısıyla, $u'(x) = 2 - 0 = 2$'dir.
• 5. Zincir Kuralını Uygulayalım:

  Şimdi Zincir Kuralı formülü olan $f'(x) = n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$'i kullanalım. Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

  • $n = 5$
  • $u(x) = (2x - 3)$
  • $n - 1 = 5 - 1 = 4$
  • $u'(x) = 2$

  Bu değerleri formülde yerine koyarsak:

  $f'(x) = 5 \cdot (2x - 3)^{5-1} \cdot 2$

  $f'(x) = 5 \cdot (2x - 3)^4 \cdot 2$

• 6. İfadeyi Sadeleştirelim:

  Şimdi çarpma işlemlerini yaparak ifadeyi daha düzenli hale getirelim:

  $f'(x) = (5 \cdot 2) \cdot (2x - 3)^4$

  $f'(x) = 10 \cdot (2x - 3)^4$

• 7. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sonuç $10(2x - 3)^4$'tür. Bu sonuç, verilen seçeneklerden B seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.