Bu soruyu çözmek için zincir kuralını (bileşke fonksiyonun türevi) kullanmamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Fonksiyonu Tanımlayalım:
Bize verilen fonksiyon $g(x) = (x^3-2x)^5$. Bu fonksiyon, bir iç fonksiyonun kuvveti şeklinde yazılmış bir bileşke fonksiyondur.
- 2. Zincir Kuralını Hatırlayalım:
Eğer bir fonksiyon $y = [f(x)]^n$ şeklinde ise, türevi $y' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$ formülü ile bulunur. Burada $f(x)$ iç fonksiyon, $n$ ise kuvvettir.
- 3. İç Fonksiyonu ve Kuvveti Belirleyelim:
Bizim fonksiyonumuzda:
- İç fonksiyon $f(x) = x^3-2x$
- Kuvvet $n = 5$
- 4. İç Fonksiyonun Türevini Bulalım ($f'(x)$):
$f(x) = x^3-2x$ ise, türevi $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x) = 3x^2 - 2$ olur.
- 5. Zincir Kuralını Uygulayarak $g'(x)$'i Bulalım:
$g'(x) = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$ formülünü kullanarak:
$g'(x) = 5(x^3-2x)^{5-1} \cdot (3x^2-2)$
$g'(x) = 5(x^3-2x)^4 (3x^2-2)$
- 6. $g'(1)$ Değerini Hesaplayalım:
Şimdi $x=1$ değerini bulduğumuz türev fonksiyonuna yerleştirelim:
$g'(1) = 5((1)^3-2(1))^4 (3(1)^2-2)$
$g'(1) = 5(1-2)^4 (3-2)$
$g'(1) = 5(-1)^4 (1)$
$g'(1) = 5(1)(1)$
$g'(1) = 5$
Buna göre, $g'(1)$ değeri $5$'tir.
Cevap C seçeneğidir.
