Gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
(NOT: Resim gösterilememektedir. Aşağıdaki metinsel açıklamayı dikkate alınız.)
$f'$ fonksiyonunun grafiği: $x$-eksenini $-2$ ve $3$ noktalarında kesen, kolları yukarı doğru olan bir paraboldür. $x < -2$ için $f'(x) > 0$, $-2 < x < 3$ için $f'(x) < 0$ ve $x > 3$ için $f'(x) > 0$'dır.
Buna göre, $f$ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
YANLIŞTIR?
- I. $x=-2$ noktasında yerel maksimumu vardır.
- II. $x=3$ noktasında yerel minimumu vardır.
- III. $(-\infty, -2)$ aralığında azalandır.
- IV. $(3, \infty)$ aralığında artandır.
A) Yalnız I
B) Yalnız III
C) I ve III
D) II ve IV
E) I, II ve III
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği verilmiş ve bu grafiğe dayanarak $f$ fonksiyonunun özellikleri hakkında yorum yapmamız isteniyor. Özellikle, verilen ifadelerden hangisinin YANLIŞ olduğunu bulacağız.
Öncelikle, $f'$ fonksiyonunun grafiğinden elde ettiğimiz bilgileri ve bu bilgilerin $f$ fonksiyonu üzerindeki etkilerini hatırlayalım:
- Bir fonksiyonun türevi ($f'(x)$) pozitif ise, o fonksiyon ($f(x)$) o aralıkta artandır. Yani, eğer $f'(x) > 0$ ise, $f(x)$ artandır.
- Bir fonksiyonun türevi ($f'(x)$) negatif ise, o fonksiyon ($f(x)$) o aralıkta azalandır. Yani, eğer $f'(x) < 0$ ise, $f(x)$ azalandır.
- Bir fonksiyonun türevi ($f'(x)$) sıfır olduğu noktalarda ve işaret değiştirdiği durumlarda yerel ekstremum (yerel maksimum veya yerel minimum) vardır.
- Eğer $f'(x)$ işareti pozitiften negatife değişiyorsa, o noktada yerel maksimum vardır.
- Eğer $f'(x)$ işareti negatiften pozitife değişiyorsa, o noktada yerel minimum vardır.
Şimdi, $f'$ fonksiyonunun grafiğinden edindiğimiz bilgileri listeleyelim:
- $f'$ fonksiyonu $x$-eksenini $x=-2$ ve $x=3$ noktalarında kesiyor. Bu demektir ki $f'(-2) = 0$ ve $f'(3) = 0$.
- $x < -2$ için $f'(x) > 0$.
- $-2 < x < 3$ için $f'(x) < 0$.
- $x > 3$ için $f'(x) > 0$.
Bu bilgilere dayanarak, $f$ fonksiyonunun artan/azalan olduğu aralıkları ve yerel ekstremum noktalarını belirleyelim:
- $x < -2$ aralığında $f'(x) > 0$ olduğu için, $f$ fonksiyonu bu aralıkta artandır.
- $-2 < x < 3$ aralığında $f'(x) < 0$ olduğu için, $f$ fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
- $x > 3$ aralığında $f'(x) > 0$ olduğu için, $f$ fonksiyonu bu aralıkta artandır.
- $x=-2$ noktasında $f'(x)$ işareti pozitiften negatife değiştiği için, $f$ fonksiyonunun $x=-2$ noktasında bir yerel maksimumu vardır.
- $x=3$ noktasında $f'(x)$ işareti negatiften pozitife değiştiği için, $f$ fonksiyonunun $x=3$ noktasında bir yerel minimumu vardır.
Şimdi verilen ifadeleri tek tek inceleyelim:
- I. $x=-2$ noktasında yerel maksimumu vardır.
Yukarıdaki analizimize göre, $x=-2$ noktasında $f'(x)$ işareti pozitiften negatife değiştiği için $f$ fonksiyonunun bu noktada yerel maksimumu vardır. Bu ifade DOĞRUDUR.
- II. $x=3$ noktasında yerel minimumu vardır.
Yukarıdaki analizimize göre, $x=3$ noktasında $f'(x)$ işareti negatiften pozitife değiştiği için $f$ fonksiyonunun bu noktada yerel minimumu vardır. Bu ifade DOĞRUDUR.
- III. $(-\infty, -2)$ aralığında azalandır.
Yukarıdaki analizimize göre, $(-\infty, -2)$ aralığında $f'(x) > 0$ olduğu için $f$ fonksiyonu bu aralıkta artandır. Dolayısıyla, bu ifade YANLIŞTIR.
- IV. $(3, \infty)$ aralığında artandır.
Yukarıdaki analizimize göre, $(3, \infty)$ aralığında $f'(x) > 0$ olduğu için $f$ fonksiyonu bu aralıkta artandır. Bu ifade DOĞRUDUR.
Soruda bizden YANLIŞ olan ifadeyi bulmamız isteniyor. Yaptığımız incelemeler sonucunda, sadece III. ifadenin yanlış olduğunu gördük.
Cevap B seçeneğidir.
