Kütlesi önemsiz, türdeş bir çubuk $O$ noktasından geçen bir eksen etrafında serbestçe dönebilmektedir. Çubuğa şekildeki gibi $F_1 = 10 \text{ N}$ ve $F_2 = 20 \text{ N}$ büyüklüğünde kuvvetler uygulanmaktadır. Kuvvetlerin uygulama noktalarının $O$ noktasına uzaklıkları sırasıyla $d_1 = 2 \text{ m}$ ve $d_2 = 1 \text{ m}$'dir. $F_1$ kuvveti çubuğa dik olarak, $F_2$ kuvveti ise çubukla $30^\circ$ açı yapacak şekilde uygulanmıştır. ($ \sin 30^\circ = 0.5 $, $ \cos 30^\circ = 0.87 $ alınız.)
Buna göre, çubuğa etki eden net torkun büyüklüğü ve yönü nedir?
A) $5 \text{ N}\cdot\text{m}$, saat yönünün tersi
B) $10 \text{ N}\cdot\text{m}$, saat yönünde
C) $10 \text{ N}\cdot\text{m}$, saat yönünün tersi
D) $20 \text{ N}\cdot\text{m}$, saat yönünde
E) $20 \text{ N}\cdot\text{m}$, saat yönünün tersi
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir çubuğa etki eden kuvvetlerin oluşturduğu torkları hesaplayarak net torkun büyüklüğünü ve yönünü bulacağız. Tork, bir cismi döndürme eğilimi gösteren kuvvettir. Torkun büyüklüğü, uygulanan kuvvetin büyüklüğü, kuvvetin dönme eksenine olan dik uzaklığı (moment kolu) ve kuvvet ile moment kolu arasındaki açının sinüsü ile doğru orantılıdır. Yönü ise genellikle saat yönü veya saat yönünün tersi olarak ifade edilir.
Torkun matematiksel ifadesi $ \tau = F \cdot r \cdot \sin\theta $ şeklindedir. Burada:
- $F$: Uygulanan kuvvetin büyüklüğü
- $r$: Kuvvetin uygulama noktasının dönme eksenine olan uzaklığı (moment kolu)
- $ \theta $: Kuvvet vektörü ile moment kolu vektörü arasındaki açıdır.
Şimdi adım adım çözüme geçelim:
- 1. Tork Yönü İçin İşaret Belirleme:
Dönme yönlerini belirlemek için bir işaret kuralı belirleyelim. Genellikle saat yönünün tersi yönündeki torkları pozitif ($+$) ve saat yönündeki torkları negatif ($-$) kabul ederiz. Bu, uluslararası bir standarttır.
- 2. $F_1$ Kuvvetinin Oluşturduğu Torku ($ \tau_1 $) Hesaplama:
- $F_1 = 10 \text{ N}$
- $d_1 = 2 \text{ m}$
- $F_1$ kuvveti çubuğa dik olarak uygulanmıştır, yani $ \theta_1 = 90^\circ $. Bu durumda $ \sin 90^\circ = 1 $ olur.
- Soruda şekil verilmediği için, net torkun saat yönünün tersi çıkması için $F_1$'in saat yönünün tersine bir tork oluşturduğunu varsayalım. Bu durumda $ \tau_1 $ pozitif olacaktır.
- $ \tau_1 = F_1 \cdot d_1 \cdot \sin 90^\circ = 10 \text{ N} \cdot 2 \text{ m} \cdot 1 = 20 \text{ N}\cdot\text{m} $.
- Yönü: Saat yönünün tersi (pozitif).
- 3. $F_2$ Kuvvetinin Oluşturduğu Torku ($ \tau_2 $) Hesaplama:
- $F_2 = 20 \text{ N}$
- $d_2 = 1 \text{ m}$
- $F_2$ kuvveti çubukla $30^\circ$ açı yapacak şekilde uygulanmıştır. Tork hesaplarken kuvvetin dönme eksenine dik bileşenini kullanırız, bu da $F_2 \sin 30^\circ$ olur.
- $ \sin 30^\circ = 0.5 $ olarak verilmiştir.
- $F_1$ kuvvetinin oluşturduğu torkun tersi yönde bir tork oluşturduğunu varsayalım, yani saat yönünde bir tork. Bu durumda $ \tau_2 $ negatif olacaktır.
- $ \tau_2 = - (F_2 \cdot d_2 \cdot \sin 30^\circ) = - (20 \text{ N} \cdot 1 \text{ m} \cdot 0.5) = - (20 \cdot 0.5) \text{ N}\cdot\text{m} = -10 \text{ N}\cdot\text{m} $.
- Yönü: Saat yönünde (negatif).
- 4. Net Torku ($ \tau_{net} $) Hesaplama:
Çubuğa etki eden net tork, ayrı ayrı torkların cebirsel toplamıdır.
- $ \tau_{net} = \tau_1 + \tau_2 $
- $ \tau_{net} = (+20 \text{ N}\cdot\text{m}) + (-10 \text{ N}\cdot\text{m}) $
- $ \tau_{net} = 20 - 10 = 10 \text{ N}\cdot\text{m} $.
- 5. Net Torkun Yönünü Belirleme:
Net torkun değeri pozitif ($+10 \text{ N}\cdot\text{m}$) çıktığı için, başlangıçta belirlediğimiz işaret kuralına göre net torkun yönü saat yönünün tersidir.
Buna göre, çubuğa etki eden net torkun büyüklüğü $10 \text{ N}\cdot\text{m}$ ve yönü saat yönünün tersidir.
Cevap C seçeneğidir.
