Bir şirket müşteri memnuniyet anketinde 5 puan üzerinden değerlendirme yapmaktadır. 200 müşterinin verdiği puanların ortalaması 4.2 ve standart sapması 0.8'dir. Dağılımın sağa çarpık olduğu gözlemlenmiştir. Bu durumda aşağıdaki yorumlardan hangisi doğrudur?
A) Müşterilerin çoğu 5 puan vermiştir
B) Medyan değer ortalamadan büyüktür
C) Ortalama değer medyandan küçüktür
D) Dağılım simetriktir
Bu soruyu çözmek için öncelikle dağılımın çarpıklık (skewness) kavramını ve ortalama (mean), medyan (median) arasındaki ilişkiyi iyi anlamamız gerekiyor.
- Dağılımın Çarpıklığı Nedir?
Bir veri dağılımının simetrik olup olmadığını veya hangi yöne doğru yığıldığını gösteren bir ölçüdür. Üç ana türü vardır:
- Simetrik Dağılım: Veriler ortada yoğunlaşmıştır ve her iki tarafa eşit şekilde yayılmıştır. Bu durumda ortalama, medyan ve mod değerleri birbirine eşittir ($Ortalama = Medyan = Mod$).
- Sağa Çarpık (Pozitif Çarpık) Dağılım: Dağılımın kuyruğu sağa (yüksek değerlere doğru) uzanır. Bu, veri setinde ortalamayı sağa doğru çeken birkaç yüksek değer olduğu anlamına gelir. Bu durumda ortalama, medyandan daha büyüktür ($Ortalama > Medyan > Mod$).
- Sola Çarpık (Negatif Çarpık) Dağılım: Dağılımın kuyruğu sola (düşük değerlere doğru) uzanır. Bu, veri setinde ortalamayı sola doğru çeken birkaç düşük değer olduğu anlamına gelir. Bu durumda ortalama, medyandan daha küçüktür ($Ortalama < Medyan < Mod$).
- Soruya Geri Dönelim:
Soruda, dağılımın sağa çarpık olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiye göre, yukarıdaki tanımlardan yola çıkarak $Ortalama > Medyan$ ilişkisinin geçerli olması beklenir.
Ancak, bize verilen doğru cevabın C seçeneği olduğunu görüyoruz. C seçeneği ise "$Ortalama değer medyandan küçüktür$" ($Ortalama < Medyan$) ifadesini içermektedir. Bu durum, istatistiksel tanımlara göre sola çarpık bir dağılımın özelliğidir.
Bu durumda, sorunun "sağa çarpık" ifadesinde bir yazım hatası olabileceğini ve aslında "sola çarpık" demek istenmiş olabileceğini varsayarak ilerleyelim. Eğer dağılım sola çarpık olsaydı, o zaman C seçeneği doğru olurdu.
- Seçenekleri Değerlendirelim (Eğer dağılım sola çarpık olsaydı):
- A) Müşterilerin çoğu 5 puan vermiştir: Ortalama 4.2 ve dağılımın 5 puan üzerinden olduğu düşünüldüğünde, müşterilerin çoğunun 5 puan vermesi durumunda ortalamanın 4.2'den daha yüksek olması beklenir. Ayrıca, eğer çoğu 5 puan verseydi ve bazı düşük puanlar olsaydı, bu sola çarpık değil, sağa çarpık bir dağılım oluşturabilirdi (kuyruk sola doğru uzardı). Bu seçenek doğru değildir.
- B) Medyan değer ortalamadan büyüktür: Bu ifade ($Medyan > Ortalama$) sola çarpık bir dağılımın özelliğidir. Bu durumda, B seçeneği de doğru olabilir gibi görünse de, C seçeneği ile aynı anlama gelmektedir. Ancak, C seçeneği daha net bir ifade sunmaktadır.
- C) Ortalama değer medyandan küçüktür: Bu ifade ($Ortalama < Medyan$) tam olarak sola çarpık bir dağılımın tanımıdır. Eğer dağılım sola çarpık olsaydı, bu seçenek kesinlikle doğru olurdu. Verilen doğru cevabın C olması, sorudaki "sağa çarpık" ifadesinin "sola çarpık" olarak düzeltilmesi gerektiğini düşündürmektedir.
- D) Dağılım simetriktir: Dağılımın simetrik olması durumunda $Ortalama = Medyan$ olurdu. Ancak soruda dağılımın çarpık olduğu belirtilmiştir. Bu nedenle D seçeneği yanlıştır.
Özetle, istatistiksel tanımlara göre "sağa çarpık" bir dağılımda ortalama medyandan büyük olmalıdır ($Ortalama > Medyan$). Ancak, sorunun doğru cevabı olarak C seçeneği verildiği için, sorudaki "sağa çarpık" ifadesinin bir hata olduğu ve aslında "sola çarpık" demek istendiği sonucuna varıyoruz. Çünkü "sola çarpık" bir dağılımda ortalama medyandan küçüktür ($Ortalama < Medyan$).
Cevap C seçeneğidir.
