Bir fabrikada üretilen vidaların boy uzunlukları \( (1.5, 3.2] \) cm aralığındadır. Kalite kontrol sonucu boyu \( [2, 2.8] \) cm aralığında olan vidalar kabul ediliyor. Ret edilen vidaların boy aralığı nedir?
A) \((1.5, 2) \cup (2.8, 3.2]\)
B) \([1.5, 2) \cap (2.8, 3.2]\)
C) \((1.5, 2] \cup [2.8, 3.2)\)
D) \([2, 2.8]\)
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fabrikanın vida üretimindeki kalite kontrol süreçlerini matematiksel aralıklar kullanarak inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek ret edilen vidaların boy aralığını bulalım.
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Öncelikle, fabrikada üretilen tüm vidaların boy uzunlukları belirli bir aralıkta yer almaktadır. Bu aralık $ (1.5, 3.2] $ cm olarak verilmiş. Bu ifade, vidaların boyunun $1.5$ cm'den büyük olduğunu (yani $1.5$ cm dahil değil) ve $3.2$ cm'ye eşit veya küçük olduğunu (yani $3.2$ cm dahil) gösterir. Matematiksel olarak $1.5 < \text{boy} \le 3.2$ şeklinde ifade edebiliriz.
- İkinci olarak, kalite kontrol sonucunda kabul edilen vidaların boy aralığı verilmiş. Bu aralık $ [2, 2.8] $ cm'dir. Bu ifade, vidaların boyunun $2$ cm'ye eşit veya büyük olduğunu ve $2.8$ cm'ye eşit veya küçük olduğunu gösterir. Matematiksel olarak $2 \le \text{boy} \le 2.8$ şeklinde ifade edebiliriz.
- Bizden istenen ise, ret edilen vidaların boy aralığını bulmaktır. Ret edilen vidalar, toplam üretilen vidalar içinde olup da kabul edilmeyen vidalardır.
- 2. Adım: Sayı Doğrusunda Görselleştirelim
- Bu tür aralık problemlerini sayı doğrusu üzerinde düşünmek, çözümü daha net görmemizi sağlar.
- Tüm üretilen vidaların aralığı: $ (1.5 \quad \dots \quad 3.2] $
- Kabul edilen vidaların aralığı: $ \quad [2 \quad \dots \quad 2.8] $
- Ret edilen vidaları bulmak için, tüm üretilen vidaların aralığından, kabul edilen vidaların aralığını "çıkarmamız" gerekir.
- 3. Adım: Ret Edilen Aralıkları Belirleyelim
- Toplam aralığımız $ (1.5, 3.2] $ idi. Bu aralıktan $ [2, 2.8] $ aralığını çıkaracağız.
- Birinci kısım (sol taraf): $1.5$ cm'den büyük olan vidalar, $2$ cm'ye kadar olan kısımda ret edilir. Ancak $2$ cm'nin kendisi kabul edilen aralığa dahil olduğu için, ret edilen kısımda $2$ cm dahil değildir. Bu nedenle bu kısım $ (1.5, 2) $ olarak yazılır.
- İkinci kısım (sağ taraf): $2.8$ cm'den büyük olan vidalar, $3.2$ cm'ye kadar olan kısımda ret edilir. Ancak $2.8$ cm'nin kendisi kabul edilen aralığa dahil olduğu için, ret edilen kısımda $2.8$ cm dahil değildir. Bu nedenle bu kısım $ (2.8, 3.2] $ olarak yazılır. ($3.2$ cm, toplam üretim aralığına dahil olduğu için, eğer ret ediliyorsa bu aralığa da dahil olmalıdır.)
- 4. Adım: Ret Edilen Aralıkları Birleştirelim
- Ret edilen vidaların boy aralığı, bulduğumuz bu iki ayrı kısmın birleşimidir.
- Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, ret edilen vidaların boy aralığı $ (1.5, 2) \cup (2.8, 3.2] $ olur.
- 5. Adım: Seçenekleri Kontrol Edelim
- Bulduğumuz sonuç, A seçeneğindeki ifade ile tamamen aynıdır: $ (1.5, 2) \cup (2.8, 3.2] $.
Cevap A seçeneğidir.
