Bir mutlak değer fonksiyonu f(x) = |2x-4| - |x+1| şeklinde verilmiştir. Bu fonksiyonun parçalı fonksiyon olarak yazıldığında x < -1 aralığındaki ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) = -2x+4+x+1 = -x+5Mutlak değer fonksiyonlarını parçalı fonksiyon olarak yazarken, mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini doğru belirlemek çok önemlidir. Adım adım ilerleyelim:
Öncelikle verilen fonksiyonu inceleyelim: $f(x) = |2x-4| - |x+1|$.
Bizden bu fonksiyonun $x < -1$ aralığındaki ifadesini bulmamız isteniyor.
Mutlak değer ifadelerini açmak için, her bir mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktaları bulmalıyız. Bu noktalar, mutlak değerin içindeki ifadenin işaret değiştirdiği yerlerdir:
İlk mutlak değer için: $2x-4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
İkinci mutlak değer için: $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
Şimdi, $x < -1$ aralığında her bir mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini belirleyelim:
$|2x-4|$ ifadesi için:
$x < -1$ olduğunda, $x$ değeri kesinlikle $2$'den küçüktür. Örneğin, $x=-2$ alırsak, $2(-2)-4 = -4-4 = -8$ olur. Yani, $2x-4$ ifadesi bu aralıkta negatiftir.
Mutlak değerin tanımına göre, içi negatif olan bir ifade mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: $|2x-4| = -(2x-4) = -2x+4$.
$|x+1|$ ifadesi için:
$x < -1$ olduğunda, $x+1$ ifadesi negatiftir. Örneğin, $x=-2$ alırsak, $-2+1 = -1$ olur. Yani, $x+1$ ifadesi bu aralıkta negatiftir.
Mutlak değerin tanımına göre, içi negatif olan bir ifade mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
Bulduğumuz bu ifadeleri orijinal $f(x)$ fonksiyonunda yerine yazalım:
$f(x) = |2x-4| - |x+1|$
$f(x) = (-2x+4) - (-x-1)$
Şimdi bu ifadeyi basitleştirelim:
$f(x) = -2x+4 + x + 1$
$f(x) = (-2x+x) + (4+1)$
$f(x) = -x+5$
Bu durumda, $x < -1$ aralığındaki fonksiyon ifadesi $f(x) = -x+5$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
