Bu soruda, bir veri setine sabit bir sayı eklemenin standart sapmayı nasıl etkilediğini anlamamız gerekiyor. Adım adım inceleyelim:
- Standart Sapma Nedir?
- Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını, yani verilerin ne kadar yaygın olduğunu ölçen bir istatistiksel ölçüdür. Kısacası, veri setinin dağılımını veya değişkenliğini gösterir.
- Matematiksel olarak, standart sapma her bir veri noktasının ortalamadan farklarının karelerinin ortalamasının kareköküdür. Formülü genellikle şu şekildedir: $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$ (örnek standart sapması için) veya $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{N}}$ (popülasyon standart sapması için). Burada $x_i$ her bir veri noktası, $\bar{x}$ veya $\mu$ ortalama ve $n$ veya $N$ veri noktası sayısıdır.
- Veri Setine Sabit Bir Sayı Eklemenin Etkisi:
- Şimdi, elimizde bir veri seti olduğunu ve bu setin elemanlarının $x_1, x_2, ..., x_n$ olduğunu varsayalım. Bu veri setinin ortalaması $\bar{x}$ olsun.
- Veri setindeki her bir değere sabit bir sayı olan 5 eklediğimizi düşünelim. Yeni veri setimiz $(x_1+5, x_2+5, ..., x_n+5)$ olacaktır.
- Ortalamanın Değişimi:
- Eğer her bir veri noktasına 5 eklersek, veri setinin ortalaması da 5 artacaktır. Yani, eski ortalama $\bar{x}$ ise, yeni ortalama $\bar{x}_{yeni} = \bar{x} + 5$ olur.
- Ortalamadan Farkların Değişimi:
- Standart sapmanın temelinde, her bir veri noktasının ortalamadan farkı yatar: $(x_i - \bar{x})$. Bu farklar, verilerin ortalamadan ne kadar uzak olduğunu gösterir.
- Yeni veri setinde bu farkı hesaplayalım: Her bir yeni veri noktası $(x_i + 5)$ ve yeni ortalama $(\bar{x} + 5)$ olduğundan, yeni fark $((x_i + 5) - (\bar{x} + 5))$ olacaktır.
- Bu ifadeyi basitleştirdiğimizde: $x_i + 5 - \bar{x} - 5 = x_i - \bar{x}$ olduğunu görürüz.
- Gördüğünüz gibi, her bir veri noktasının yeni ortalamadan farkı, eski ortalamadan farkıyla tamamen aynıdır! Yani, veri noktalarının birbirlerine göre konumları ve ortalamaya göre göreceli uzaklıkları değişmemiştir.
- Standart Sapmanın Değişimi:
- Standart sapma, bu farkların karelerinin toplamına ve ardından kareköküne dayandığı için, farklar değişmediğinden standart sapma da değişmeyecektir. Veri setinin yayılımı veya dağılımı, tüm veriler aynı miktarda kaydırıldığında değişmez. Sanki bir cetvel üzerindeki işaretleri 5 birim sağa kaydırmak gibidir; işaretlerin birbirine olan uzaklıkları değişmez.
Bu nedenle, bir veri setine sabit bir sayı eklemek (veya çıkarmak) standart sapmayı değiştirmez.
Cevap C seçeneğidir.
