10. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Ülke Geneli Ortak Sınav Test 1

$f(x) = \frac{1}{x-2} + 3$ fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Tanım kümesi $\mathbb{R} - \{2\}$'dir.

B) Görüntü kümesi $\mathbb{R} - \{3\}$'tür.

C) $x=2$ doğrusu düşey asimptottur.

D) $y=3$ doğrusu yatay asimptottur.

E) $y$-eksenini $(0, \frac{7}{2})$ noktasında keser.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir fonksiyonun özelliklerini inceleyerek hangi ifadenin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{1}{x-2} + 3$. Şimdi her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

• A) Tanım kümesi $\mathbb{R} - \{2\}$'dir.

  Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesini bulmak için paydanın sıfır olmamasına dikkat etmeliyiz. Fonksiyonumuzda payda $x-2$'dir. Paydanın sıfır olmaması için $x-2 \neq 0$ olmalıdır. Bu da $x \neq 2$ anlamına gelir. Dolayısıyla, fonksiyon $x=2$ dışında tüm reel sayılar için tanımlıdır. Tanım kümesi $\mathbb{R} - \{2\}$'dir. Bu ifade doğrudur.

• B) Görüntü kümesi $\mathbb{R} - \{3\}$'tür.

  Görüntü kümesini bulmak için fonksiyonun alabileceği $y$ değerlerini incelemeliyiz. Fonksiyon $y = \frac{1}{x-2} + 3$ şeklinde verilmiştir. Buradaki $\frac{1}{x-2}$ terimi hiçbir zaman sıfır olamaz, çünkü payı $1$'dir. Eğer $\frac{1}{x-2} \neq 0$ ise, o zaman $y = \frac{1}{x-2} + 3$ ifadesi de $0+3=3$ değerini alamaz. Yani $y \neq 3$. Bu durumda, fonksiyonun görüntü kümesi $3$ dışında tüm reel sayılardır, yani $\mathbb{R} - \{3\}$'tür. Bu ifade doğrudur.

• C) $x=2$ doğrusu düşey asimptottur.

  Düşey asimptotlar, fonksiyonun tanım kümesinde olmayan ve fonksiyonun o noktaya yaklaştıkça sonsuza gittiği $x$ değerleridir. Fonksiyonumuzda payda $x-2$ sıfır olduğunda ($x=2$) fonksiyon tanımsız olur ve $\frac{1}{x-2}$ terimi $\pm \infty$'a yaklaşır. Bu nedenle $x=2$ doğrusu düşey asimptottur. Bu ifade doğrudur.

• D) $y=3$ doğrusu yatay asimptottur.

  Yatay asimptotları bulmak için $x$ sonsuza veya eksi sonsuza giderken fonksiyonun limitini inceleriz. $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x-2} + 3 \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x-2} + \lim_{x \to \infty} 3 = 0 + 3 = 3$. Benzer şekilde, $\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{1}{x-2} + 3 \right) = 3$. Limit değeri $3$ olduğu için $y=3$ doğrusu yatay asimptottur. Bu ifade doğrudur.

• E) $y$-eksenini $(0, \frac{7}{2})$ noktasında keser.

  $y$-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda $x=0$ yazarız. $f(0) = \frac{1}{0-2} + 3$ $f(0) = \frac{1}{-2} + 3$ $f(0) = -\frac{1}{2} + 3$ $f(0) = -\frac{1}{2} + \frac{6}{2}$ $f(0) = \frac{5}{2}$ Yani fonksiyon $y$-eksenini $(0, \frac{5}{2})$ noktasında keser. Seçenekte verilen nokta $(0, \frac{7}{2})$ olduğu için bu ifade yanlıştır.

Yukarıdaki analizler sonucunda, E seçeneğindeki ifadenin yanlış olduğunu bulduk.

Cevap E seçeneğidir.