Birim fonksiyon Test 3

f: R → R birim fonksiyon ve g(x) = f(x+1) - f(x-1) olduğuna göre, g(5) değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3

Bu soruyu adım adım çözerek, birim fonksiyonun ne anlama geldiğini ve fonksiyonlarda işlem yapmayı daha iyi anlayacağız. Haydi başlayalım!

• 1. Birim Fonksiyonun Tanımı:

  Soruda $f: R \rightarrow R$ birim fonksiyon olarak verilmiş. Birim fonksiyon, kendisine hangi değeri verirseniz verin, aynı değeri geri veren fonksiyondur. Matematiksel olarak ifade edersek, her $x$ değeri için $f(x) = x$ kuralı geçerlidir. Bu, fonksiyonun "kimlik" gibi davrandığı anlamına gelir; ne girerse o çıkar.

• 2. $f(x+1)$ ve $f(x-1)$ Değerlerini Belirleyelim:

  Birim fonksiyonun tanımına göre ($f(x) = x$), fonksiyonun içine ne yazarsak, sonuç da o olacaktır. Bu durumda:

  Eğer $f(x) = x$ ise, $f(x+1)$ ifadesinde $x$ yerine $x+1$ yazdığımızda, sonuç da $x+1$ olur. Yani, $f(x+1) = x+1$.

  Benzer şekilde, $f(x-1)$ ifadesinde $x$ yerine $x-1$ yazdığımızda, sonuç da $x-1$ olur. Yani, $f(x-1) = x-1$.

• 3. $g(x)$ Fonksiyonunu Yeniden Yazalım:

  Şimdi $g(x)$ fonksiyonunun tanımını hatırlayalım: $g(x) = f(x+1) - f(x-1)$.

  Bulduğumuz $f(x+1)$ ve $f(x-1)$ değerlerini bu denklemde yerine koyalım:

  $g(x) = (x+1) - (x-1)$

• 4. $g(x)$ Fonksiyonunu Sadeleştirelim:

  Parantezleri dikkatlice açalım. İkinci parantezin önündeki eksi işaretini dağıtmayı unutmayalım:

  $g(x) = x+1 - x+1$

  Şimdi benzer terimleri bir araya getirelim:

  $g(x) = (x-x) + (1+1)$

  $g(x) = 0 + 2$

  $g(x) = 2$

  Gördüğümüz gibi, $g(x)$ fonksiyonu $x$ değişkeninden bağımsız olarak her zaman $2$ değerini almaktadır. Bu bir sabit fonksiyondur.

• 5. $g(5)$ Değerini Bulalım:

  $g(x)$ fonksiyonunun her zaman $2$ değerini aldığını bulduğumuza göre, $x$ yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım sonuç değişmeyecektir.

  Dolayısıyla, $g(5)$ değeri de $2$ olacaktır.

Cevap C seçeneğidir.