Birim fonksiyon tanımına göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Her x için f(x) = x'tir
B) Grafiği y = x doğrusudur
C) Birebir ve örtendir
D) f(a) = f(b) ise a ≠ b olabilir
Birim fonksiyon, matematikte her elemanı kendisine eşleyen özel bir fonksiyondur. Bu tanımı göz önünde bulundurarak seçenekleri adım adım inceleyelim:
A) Her $x$ için $f(x) = x$'tir
Bu ifade, birim fonksiyonun doğrudan tanımıdır. Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı, değer kümesinde yine kendisiyle eşler. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
B) Grafiği $y = x$ doğrusudur
Bir fonksiyonun grafiği, $(x, f(x))$ noktalarından oluşur. Birim fonksiyonda $f(x) = x$ olduğundan, grafik $(x, x)$ noktalarından oluşur. Bu noktalar kümesi de koordinat düzleminde $y = x$ doğrusunu temsil eder. Bu ifade de doğrudur.
C) Birebir ve örtendir
Birebir (Injective): Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesinde farklı görüntülere sahip olması gerekir. Yani, eğer $f(a) = f(b)$ ise, mutlaka $a = b$ olmalıdır. Birim fonksiyonda $f(a) = a$ ve $f(b) = b$ olduğundan, $f(a) = f(b)$ demek $a = b$ demektir. Bu nedenle birim fonksiyon birebirdir.
Örten (Surjective): Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olması gerekir. Yani, değer kümesindeki her $y$ için, $f(x) = y$ olacak şekilde bir $x$ bulunmalıdır. Birim fonksiyonda $f(x) = x$ olduğundan, değer kümesindeki her $y$ için, $x = y$ seçilirse $f(y) = y$ olur. Bu nedenle birim fonksiyon örtendir (tanım ve değer kümeleri aynı kabul edildiğinde). Bu ifade de doğrudur.
D) $f(a) = f(b)$ ise $a \neq b$ olabilir
Bu ifade, birim fonksiyonun birebir olma özelliğiyle çelişmektedir. Yukarıda C seçeneğinde açıkladığımız gibi, birim fonksiyon birebirdir. Birebir bir fonksiyonda, eğer $f(a) = f(b)$ ise, bu durum sadece $a = b$ olduğunda mümkündür. Yani, farklı elemanların aynı görüntüye sahip olması imkansızdır. Bu ifade, "farklı elemanların aynı görüntüye sahip olabileceğini" veya "aynı görüntüye sahip elemanların farklı olabileceğini" iddia ettiği için yanlıştır.
