Sevgili öğrenciler, bu tür üçgen problemlerinde genellikle benzerlik kavramını kullanırız. Paralel doğrular, benzer üçgenlerin anahtarıdır. Haydi adım adım bu soruyu çözelim!
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Bir $ABC$ üçgenimiz var.
- $[DE]$ doğru parçası, $[BC]$ doğru parçasına paraleldir (yani $[DE] // [BC]$). Bu bilgi çok önemli!
- $D$ noktası $[AB]$ üzerinde, $E$ noktası $[AC]$ üzerindedir.
- $|AD|/|DB| = 2/3$ oranı verilmiş. Bu, $AD$ uzunluğunun $DB$ uzunluğuna oranının $2/3$ olduğu anlamına gelir.
- $|BC|$ uzunluğu $20$ cm olarak verilmiş.
- Bizden $|DE|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
- 2. Benzer Üçgenleri Tespit Edelim:
- $[DE] // [BC]$ olduğu için, $\triangle ADE$ üçgeni ile $\triangle ABC$ üçgeni benzerdir. Neden mi?
- $\angle A$ açısı her iki üçgen için de ortak açıdır.
- $[DE] // [BC]$ olduğundan, yöndeş açılar eşittir: $\angle ADE = \angle ABC$ ve $\angle AED = \angle ACB$.
- Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ olur.
- 3. Benzerlik Oranını Bulalım:
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu orana benzerlik oranı denir.
- Bize $|AD|/|DB| = 2/3$ verilmiş. Bu oranı kullanarak $AD$ ve $AB$ arasındaki ilişkiyi bulmalıyız.
- $|AD| = 2k$ dersek, $|DB| = 3k$ olur (burada $k$ bir pozitif sabittir).
- O zaman, $|AB|$ uzunluğu $|AD| + |DB|$ toplamına eşittir: $|AB| = 2k + 3k = 5k$.
- Şimdi benzerlik oranını yazabiliriz: $|AD|/|AB| = 2k/5k = 2/5$.
- Demek ki, $\triangle ADE$ üçgeni, $\triangle ABC$ üçgeninin $2/5$ oranında küçültülmüş halidir.
- 4. $|DE|$ Uzunluğunu Hesaplayalım:
- Benzerlik oranını kullanarak $|DE|$ uzunluğunu bulabiliriz:
$|AD|/|AB| = |DE|/|BC|$
- Bulduğumuz benzerlik oranını ve verilen $|BC|$ uzunluğunu yerine yazalım:
$2/5 = |DE|/20$
- Şimdi $|DE|$ için denklemi çözelim. İçler dışlar çarpımı yapabiliriz veya her iki tarafı $20$ ile çarpabiliriz:
$5 \times |DE| = 2 \times 20$
$5 \times |DE| = 40$
- Her iki tarafı $5$'e bölersek:
$|DE| = 40/5$
$|DE| = 8$ cm.
Bu adımları takip ederek $|DE|$ uzunluğunu $8$ cm olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
