Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için üçgenlerin çok önemli bir özelliğini, Üçgen Eşitsizliği Teoremi'ni hatırlamamız gerekiyor.
Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan her zaman daha büyük olmalıdır. Aynı zamanda, herhangi iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan her zaman daha küçük olmalıdır.
Yani, kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olan bir üçgen için şu eşitsizlikler geçerlidir:
$|a - b| < c < a + b$
$|a - c| < b < a + c$
$|b - c| < a < b + c$
Bu eşitsizlikler, bir üçgenin oluşabilmesi için kenar uzunluklarının belirli bir uyum içinde olması gerektiğini gösterir. Aksi takdirde, kenarlar birleşip bir üçgen oluşturamaz.
Bize verilen kenar uzunlukları $6 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu ise $x$ olarak verilmiş.
Yukarıdaki Üçgen Eşitsizliği Teoremi'ni kullanarak $x$ için bir aralık bulalım:
İki kenarın farkının mutlak değeri: $|10 - 6| = 4 \text{ cm}$
İki kenarın toplamı: $10 + 6 = 16 \text{ cm}$
Bu durumda, üçüncü kenar $x$'in uzunluğu $4 \text{ cm}$'den büyük ve $16 \text{ cm}$'den küçük olmalıdır. Matematiksel olarak bunu şöyle ifade ederiz:
$4 < x < 16$
Şimdi verilen seçenekleri, bulduğumuz $4 < x < 16$ aralığına göre kontrol edelim:
A) $4 \text{ cm}$: Eğer $x = 4$ olsaydı, $4 < 4 < 16$ eşitsizliği sağlanmazdı. Çünkü $4$, $4$'ten büyük değildir. Bu durumda, kenar uzunlukları $6, 10, 4$ olan bir üçgen oluşturulamaz. Kenarlar düz bir çizgi üzerinde kalır.
B) $5 \text{ cm}$: Eğer $x = 5$ olsaydı, $4 < 5 < 16$ eşitsizliği sağlanırdı. Bu bir üçgenin kenarı olabilir.
C) $15 \text{ cm}$: Eğer $x = 15$ olsaydı, $4 < 15 < 16$ eşitsizliği sağlanırdı. Bu bir üçgenin kenarı olabilir.
D) $10 \text{ cm}$: Eğer $x = 10$ olsaydı, $4 < 10 < 16$ eşitsizliği sağlanırdı. Bu bir üçgenin kenarı olabilir.
Gördüğümüz gibi, $x$'in $4 \text{ cm}$ olması durumunda Üçgen Eşitsizliği Teoremi sağlanmamaktadır. Bu nedenle, üçüncü kenarın uzunluğu $4 \text{ cm}$ olamaz.
Cevap A seçeneğidir.
