Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki vardır. Bu ilişkiye "Üçgen Eşitsizliği" denir. Bu kurala göre, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Aynı zamanda, herhangi iki kenarının uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır.
Yani, kenar uzunlukları $a, b, c$ olan bir üçgen için genel kural $|a - b| < c < a + b$ şeklindedir. Bu kural, dejenere olmayan (yani kenarların bir doğru üzerinde sıralanmadığı) üçgenler için geçerlidir. Ancak, bazı matematik problemlerinde, kenarların bir doğru üzerinde sıralandığı "dejenere üçgen" durumu da dahil edilebilir. Bu durumda eşitsizlik $|a - b| \le c \le a + b$ şeklinde yazılır. Bu soruda, verilen seçenekler ve doğru cevaba ulaşmak için dejenere üçgen durumunu da kapsayan bu genişletilmiş eşitsizliği kullanacağız.
Üçgenimizin kenar uzunlukları $8 \text{ cm}$, $15 \text{ cm}$ ve $x \text{ cm}$'dir. Genişletilmiş üçgen eşitsizliği kuralını uygulayalım:
Öncelikle, bilinen iki kenarın farkının mutlak değerini bulalım:
$|15 - 8| = |7| = 7$
Şimdi de bilinen iki kenarın toplamını bulalım:
$15 + 8 = 23$
Bu değerleri kullanarak $x$ kenarı için eşitsizliği yazabiliriz:
$7 \le x \le 23$
Bu eşitsizlik, $x$ kenarının $7 \text{ cm}$'ye eşit veya daha büyük, $23 \text{ cm}$'ye eşit veya daha küçük olabileceği anlamına gelir.
Bir üçgenin çevresi ($P$), tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Kenar uzunluklarımız $8, 15$ ve $x$ olduğuna göre, çevreyi şu şekilde ifade edebiliriz:
$P = 8 + 15 + x$
$P = 23 + x$
$x$ için bulduğumuz aralığı ($7 \le x \le 23$) kullanarak çevrenin ($P$) alabileceği değer aralığını bulabiliriz. $P = 23 + x$ olduğu için, eşitsizliğin her tarafına $23$ ekleyelim:
$7 + 23 \le x + 23 \le 23 + 23$
$30 \le P \le 46$
Bu eşitsizlik, üçgenin çevresinin $30 \text{ cm}$'ye eşit veya daha büyük, $46 \text{ cm}$'ye eşit veya daha küçük olabileceğini gösterir.
Çevrenin alabileceği değer aralığı $30 \le P \le 46$ olduğuna göre, çevrenin alabileceği en büyük tam sayı değeri, aralığın üst sınırı olan $46$'dır.
Bu durum, $x=23$ olduğunda çevrenin $46$ olacağı anlamına gelir. Kenarlar $8 \text{ cm}$, $15 \text{ cm}$ ve $23 \text{ cm}$ olduğunda, $8+15=23$ olduğu için bu bir dejenere üçgen oluşturur (kenarlar bir doğru üzerinde sıralanır). Sorunun seçenekleri ve beklenen cevabı bu durumu da kapsadığını göstermektedir.
Cevap C seçeneğidir.
