8. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 2

Kenar uzunlukları $3 \text{ cm}$ ve $4 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgen ile benzer olan başka bir dikdörtgenin çevresi $42 \text{ cm}$'dir. Bu benzer dikdörtgenin uzun kenar uzunluğu kaç santimetredir?

A) $12$

B) $18$

C) $24$

D) $30$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde benzer dikdörtgenlerle ilgili bir soru çözeceğiz. Benzerlik kavramını ve çevre hesaplamalarını kullanarak adım adım ilerleyelim.

• 1. Adım: Verilen Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını ve Oranını Belirleyelim

  Bize kenar uzunlukları $3 \text{ cm}$ ve $4 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgen verilmiş. Bu dikdörtgenin kısa kenarı $3 \text{ cm}$, uzun kenarı ise $4 \text{ cm}$'dir. Kenarlar arasındaki oran $3:4$ veya $4:3$ şeklindedir.

• 2. Adım: Benzer Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Oran Cinsinden Yazalım

  İkinci dikdörtgen, ilk dikdörtgene benzer olduğu için, kenar uzunlukları aynı orana sahip olacaktır. Bu oranı bir $k$ sabiti (benzerlik oranı) ile ifade edebiliriz. Eğer ilk dikdörtgenin kenarları $a_1 = 3 \text{ cm}$ ve $b_1 = 4 \text{ cm}$ ise, benzer dikdörtgenin kenarları $a_2 = 3k$ ve $b_2 = 4k$ olacaktır.

• 3. Adım: Benzer Dikdörtgenin Çevre Formülünü Kullanarak $k$ Değerini Bulalım

  Benzer dikdörtgenin çevresi $42 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. Bir dikdörtgenin çevresi, $2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar})$ formülüyle bulunur. Bu durumda:

  • Çevre $= 2 \times (a_2 + b_2)$
  • $42 = 2 \times (3k + 4k)$
  • $42 = 2 \times (7k)$
  • $42 = 14k$

  Şimdi $k$ değerini bulmak için her iki tarafı $14$'e bölelim:

  • $k = \frac{42}{14}$
  • $k = 3$

  Benzerlik oranı $k=3$ olarak bulundu.

• 4. Adım: Benzer Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım

  $k=3$ değerini kullanarak benzer dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulabiliriz:

  • Kısa kenar ($a_2$) $= 3k = 3 \times 3 = 9 \text{ cm}$
  • Uzun kenar ($b_2$) $= 4k = 4 \times 3 = 12 \text{ cm}$
• 5. Adım: Uzun Kenar Uzunluğunu Belirleyelim

  Benzer dikdörtgenin kenar uzunlukları $9 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ olduğuna göre, uzun kenar uzunluğu $12 \text{ cm}$'dir.

Bu adımlarla yapılan hesaplamalara göre benzer dikdörtgenin uzun kenar uzunluğu $12 \text{ cm}$ olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.