8. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 6. senaryo Test 1

Kenar uzunlukları $6$ cm, $8$ cm ve $10$ cm olan bir $ABC$ üçgeni ile benzer olan bir $DEF$ üçgeninin en kısa kenarı $9$ cm'dir. Buna göre $DEF$ üçgeninin en uzun kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

A) $12$

B) $13.5$

C) $15$

D) $18$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, benzer üçgenlerin özelliklerini kullanarak bir üçgenin kenar uzunluğunu bulacağız. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu orana benzerlik oranı denir. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:

• Adım 1: Verilen $ABC$ üçgeninin kenarlarını inceleyelim.

  $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $6$ cm, $8$ cm ve $10$ cm olarak verilmiştir. Bu kenarlar arasında:

  • En kısa kenar $6$ cm'dir.
  • En uzun kenar $10$ cm'dir.
• Adım 2: Benzerlik oranını ($k$) bulalım.

  $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni benzer olduğu için, karşılıklı kenarlarının oranları sabittir. $DEF$ üçgeninin en kısa kenarı $9$ cm olarak verilmiştir. $ABC$ üçgeninin en kısa kenarı ise $6$ cm idi.

  Benzerlik oranı ($k$) = $\frac{\text{DEF üçgeninin en kısa kenarı}}{\text{ABC üçgeninin en kısa kenarı}}$ formülüyle bulunur.

  $k = \frac{9 \text{ cm}}{6 \text{ cm}}$

  Bu oranı sadeleştirirsek:

  $k = \frac{3 \times 3}{3 \times 2} = \frac{3}{2}$

  Yani, $DEF$ üçgeninin kenarları, $ABC$ üçgeninin kenarlarının $\frac{3}{2}$ katıdır.

• Adım 3: $DEF$ üçgeninin en uzun kenarını hesaplayalım.

  $ABC$ üçgeninin en uzun kenarı $10$ cm idi. $DEF$ üçgeninin en uzun kenarını bulmak için, $ABC$ üçgeninin en uzun kenarını benzerlik oranı ($k$) ile çarpmamız gerekir.

  $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı = $ABC$ üçgeninin en uzun kenarı $\times k$

  $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı = $10 \text{ cm} \times \frac{3}{2}$

  $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı = $\frac{10 \times 3}{2} \text{ cm}$

  $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı = $\frac{30}{2} \text{ cm}$

  $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı = $15 \text{ cm}$

Buna göre, $DEF$ üçgeninin en uzun kenarının uzunluğu $15$ cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.