30-60-90 üçgeni, açıları 30°, 60° ve 90° olan özel bir dik üçgendir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında sabit ve kolay bir oran bulunur, bu da onu problem çözümünde çok kullanışlı kılar.
30-60-90 üçgeninin kenarları arasındaki sabit oran aşağıdaki gibidir:
Bu oranı hatırlamanın kolay bir yolu şudur: En kısa kenar (30°'nin karşısı) temel alınır (\(x\)). Hipotenüs, bu kenarın her zaman 2 katıdır (\(2x\)). 60°'nin karşısındaki kenar ise en kısa kenarın \( \sqrt{3} \) katıdır (\(x\sqrt{3}\)).
Bu tür bir üçgeni çözmek için yukarıdaki oranları kullanırsınız. Bir kenarın uzunluğu verildiğinde, diğer kenarları bulmak için aşağıdaki adımları izleyebilirsiniz:
1. Adım: Hangi kenarın verildiğini belirleyin.
2. Adım: Verilen kenarı, kenar oranlarındaki karşılığına eşitleyerek \(x\) değerini bulun.
3. Adım: Bulduğunuz \(x\) değerini kullanarak diğer iki kenarı hesaplayın.
Soru: Bir 30-60-90 üçgeninde 60°'lik açının karşısındaki kenar \( 5\sqrt{3} \) cm ise, diğer kenarların uzunlukları kaç cm'dir?
Çözüm:
Cevap: Üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, \( 5\sqrt{3} \) cm ve 10 cm'dir.
30-60-90 üçgeni, kenarları arasında \( 1 : \sqrt{3} : 2 \) oranı bulunan bir dik üçgendir. Bu oranı bilmek, sadece bir kenar verildiğinde bile diğer tüm kenar uzunluklarını ve çevresini kolayca hesaplamanızı sağlar.
Soru 1: Bir 30-60-90 üçgeninin hipotenüsü 12 cm ise, bu üçgenin dik açıyı gören kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 4 cm
b) 6 cm
c) 8 cm
d) 10 cm
Cevap: b) 6 cm
Çözüm: 30-60-90 üçgeninde kenar oranları 1 : √3 : 2'dir. Hipotenüs (90° karşısı) = 12 cm ise, 2k = 12 → k = 6. Dik açıyı gören kenar (60° karşısı) = k√3 = 6√3 cm değil, dik açıyı gören kenar 30° karşısındaki kenardır ve k'ya eşittir. Bu durumda 30° karşısı = k = 6 cm olur.
Soru 2: Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangisi bir 30-60-90 üçgeni olamaz?
a) 5, 5√3, 10
b) 4, 4√3, 8
c) 6, 6√2, 12
d) 3, 3√3, 6
Cevap: c) 6, 6√2, 12
Çözüm: 30-60-90 üçgeninde kenarlar k, k√3, 2k şeklinde olmalıdır. c seçeneğinde 6, 6√2, 12 verilmiş. 2k = 12 → k = 6 olur. Bu durumda diğer kenarlar 6 ve 6√3 olmalıydı, ancak 6√2 verildiği için bu bir 30-60-90 üçgeni olamaz.
Soru 3: Bir 30-60-90 üçgeninin çevresi 15 + 5√3 cm'dir. Bu üçgenin en kısa kenarı kaç cm'dir?
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 5 cm
d) 6 cm
Cevap: c) 5 cm
Çözüm: Kenar oranları k, k√3, 2k olsun. Çevre = k + k√3 + 2k = 3k + k√3 = k(3 + √3) = 15 + 5√3. k(3 + √3) = 5(3 + √3) → k = 5 cm. En kısa kenar (30° karşısı) = k = 5 cm olur.
Soru 1: Bir 30-60-90 üçgeninde hipotenüsün uzunluğu 12 cm'dir. Bu üçgenin dik kenarlarından kısa olanının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 4 cm
b) 6 cm
c) 8 cm
d) 10 cm
Cevap: b) 6 cm
Çözüm: 30-60-90 üçgeninde kenar oranları: kısa kenar : uzun kenar : hipotenüs = 1 : √3 : 2'dir. Hipotenüs 12 cm ise kısa kenar = 12/2 = 6 cm olur.
Soru 2: Bir 30-60-90 üçgeninin en kısa kenarı 5 cm'dir. Bu üçgenin çevresi kaç cm'dir?
a) 10 + 5√3
b) 15 + 5√3
c) 5 + 10√3
d) 15 + 10√3
Cevap: b) 15 + 5√3
Çözüm: Kenar oranları 1 : √3 : 2 olduğundan; kısa kenar = 5 cm, uzun dik kenar = 5√3 cm, hipotenüs = 10 cm'dir. Çevre = 5 + 5√3 + 10 = 15 + 5√3 cm bulunur.
Soru 3: Bir 30-60-90 üçgeninin alanı 18√3 cm²'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6 cm
b) 8 cm
c) 10 cm
d) 12 cm
Cevap: d) 12 cm
Çözüm: Kenar oranları 1 : √3 : 2 olsun. Kısa kenar = x, uzun dik kenar = x√3, hipotenüs = 2x'tir. Alan = (x × x√3)/2 = (x²√3)/2 = 18√3 → x²/2 = 18 → x² = 36 → x = 6 cm. Hipotenüs = 2x = 12 cm bulunur.
