Bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirleyen çok önemli bir kural vardır: Üçgen Eşitsizliği Teoremi. Bu teorem der ki, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Aynı zamanda, herhangi iki kenarının uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır.
- Soruda bize verilen kenar uzunlukları $5 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$'dir. Üçüncü kenarın uzunluğunu $x$ ile gösterelim.
- Üçgen Eşitsizliği Teoremi'ne göre, $x$ kenarı diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade ederiz: $|a - b| < c < a + b$.
- Bizim durumumuzda bu eşitsizlik: $|12 - 5| < x < 12 + 5$ şeklinde yazılır.
- Şimdi bu eşitsizliği adım adım çözelim:
- Önce kenarların farkının mutlak değerini hesaplayalım: $|12 - 5| = |7| = 7$.
- Sonra kenarların toplamını hesaplayalım: $12 + 5 = 17$.
- Bu değerleri eşitsizliğimize yerleştirdiğimizde, üçüncü kenar $x$ için geçerli olan aralığı buluruz: $7 < x < 17$.
- Bu eşitsizlik bize, üçüncü kenarın uzunluğunun $7 \text{ cm}$'den büyük ve $17 \text{ cm}$'den küçük olması gerektiğini söyler. Yani $x$ değeri $7$ ile $17$ arasında olmalıdır.
- Şimdi verilen seçenekleri tek tek inceleyelim ve hangi değerin bu aralığa uymadığını, yani üçüncü kenar olamayacağını bulalım:
- A) $8 \text{ cm}$: $7 < 8 < 17$ eşitsizliği doğrudur. $8 \text{ cm}$ üçüncü kenar olabilir.
- B) $10 \text{ cm}$: $7 < 10 < 17$ eşitsizliği doğrudur. $10 \text{ cm}$ üçüncü kenar olabilir.
- C) $15 \text{ cm}$: $7 < 15 < 17$ eşitsizliği doğrudur. $15 \text{ cm}$ üçüncü kenar olabilir.
- D) $18 \text{ cm}$: $7 < 18 < 17$ eşitsizliği yanlıştır. Çünkü $18$ sayısı $17$'den küçük değildir. Bu durumda $18 \text{ cm}$ üçüncü kenarın uzunluğu olamaz.
Bu nedenle, üçüncü kenarın uzunluğu $18 \text{ cm}$ olamaz.
Cevap D seçeneğidir.
