Bir fidan dikildiğinde boyu $20$ cm'dir. Her ay $5$ cm uzadığına göre, bu fidanın boyunun ay sayısına göre değişimini gösteren doğrusal ilişki için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Fidanın boyu ile ay sayısı arasında doğrusal bir ilişki vardır.
B) $x$ ay sonra fidanın boyu $y$ cm ise, bu ilişkiyi gösteren denklem $y = 5x + 20$ şeklindedir.
C) $3$ ay sonra fidanın boyu $35$ cm olur.
D) Fidanın boyu $50$ cm olduğunda üzerinden $7$ ay geçmiştir.
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fidanın büyüme hızına göre boyunun zamanla nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Bu tür problemler, günlük hayatta karşılaştığımız doğrusal ilişkileri anlamak için harika örneklerdir. Adım adım ilerleyerek her bir seçeneği değerlendirelim:
- Problemi Anlayalım:
- Fidanın başlangıçtaki boyu $20$ cm'dir. Bu, fidan dikildiği anki boyudur, yani zaman $0$ iken boyu $20$ cm'dir.
- Her ay $5$ cm uzamaktadır. Bu, fidanın boyunun her ay düzenli olarak arttığı anlamına gelir. Bu düzenli artış, doğrusal bir ilişki olduğunu gösterir.
- Bizden istenen, bu doğrusal ilişkiyi gösteren ifadelerden hangisinin yanlış olduğunu bulmaktır.
- Doğrusal İlişki Denklemini Oluşturalım:
- Bir doğrusal ilişki genellikle $y = mx + b$ şeklinde ifade edilir. Burada $y$ bağımlı değişkeni (fidanın boyu), $x$ bağımsız değişkeni (ay sayısı), $m$ eğim (değişim oranı) ve $b$ ise y-kesen (başlangıç değeri) temsil eder.
- Bizim problemimizde:
- $x$: Ay sayısı
- $y$: Fidanın boyu (cm)
- Başlangıç boyu (zaman $x=0$ iken boy): $b = 20$ cm
- Her ay uzama miktarı (değişim oranı): $m = 5$ cm/ay
- Bu değerleri denklemde yerine koyarsak, fidanın boyunu ay sayısına göre veren denklem $y = 5x + 20$ olur.
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) Fidanın boyu ile ay sayısı arasında doğrusal bir ilişki vardır.
- Fidan her ay sabit bir miktar ($5$ cm) uzadığı için, boyu ile ay sayısı arasındaki ilişki sabittir ve bu da doğrusal bir ilişki olduğunu gösterir. Bu ifade doğrudur.
- B) $x$ ay sonra fidanın boyu $y$ cm ise, bu ilişkiyi gösteren denklem $y = 5x + 20$ şeklindedir.
- Yukarıda oluşturduğumuz denklem tam olarak budur. Başlangıç boyu $20$ cm'ye, geçen ay sayısı ($x$) ile her ay uzama miktarının ($5$ cm) çarpımını ekleyerek fidanın o anki boyunu ($y$) buluruz. Bu ifade doğrudur.
- C) $3$ ay sonra fidanın boyu $35$ cm olur.
- Bu ifadeyi kontrol etmek için $x=3$ değerini $y = 5x + 20$ denkleminde yerine koyalım:
- $y = 5(3) + 20$
- $y = 15 + 20$
- $y = 35$ cm
- Hesaplamalarımıza göre $3$ ay sonra fidanın boyu $35$ cm olur. Bu ifade doğrudur.
- D) Fidanın boyu $50$ cm olduğunda üzerinden $7$ ay geçmiştir.
- Bu ifadeyi kontrol etmek için $y=50$ değerini $y = 5x + 20$ denkleminde yerine koyalım ve $x$ değerini bulalım:
- $50 = 5x + 20$
- Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için denklemi çözelim. Önce her iki taraftan $20$ çıkaralım:
- $50 - 20 = 5x$
- $30 = 5x$
- Şimdi her iki tarafı $5$'e bölelim:
- $x = \frac{30}{5}$
- $x = 6$ ay
- Hesaplamalarımıza göre fidanın boyu $50$ cm olduğunda üzerinden $6$ ay geçmiştir, $7$ ay değil. Bu ifade yanlıştır.
Soruda yanlış olan ifadeyi bulmamız istendiği için, doğru cevap D seçeneğidir.
Cevap D seçeneğidir.
