ayt matematik polinomlar çıkmış sorular son 12 yıl Test 1

$P(x)$ bir polinom olmak üzere, $P(x)$ polinomunun $x-3$ ile bölümünden kalan $5$ ve $x+2$ ile bölümünden kalan $3$'tür. Buna göre, $P(x)$ polinomunun $x^2-x-6$ ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{2x+19}{5}$
B) $\frac{x+19}{5}$
C) $\frac{2x+17}{5}$
D) $\frac{x+17}{5}$
E) $\frac{3x+19}{5}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir polinomun farklı çarpanlara bölümünden kalanları kullanarak, daha karmaşık bir çarpanla bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: Kalan Teoremini Anlamak ve Uygulamak

  Kalan Teoremi bize der ki: Bir $P(x)$ polinomunun $x-a$ ile bölümünden kalan $P(a)$'dır.

  Soruda verilen bilgileri bu teoremle yorumlayalım:

  • $P(x)$ polinomunun $x-3$ ile bölümünden kalan $5$ ise, Kalan Teoremi'ne göre $P(3) = 5$'tir.
  • $P(x)$ polinomunun $x+2$ ile bölümünden kalan $3$ ise, Kalan Teoremi'ne göre $P(-2) = 3$'tür. (Çünkü $x+2 = x-(-2)$'dir.)
• Adım 2: Bölme Algoritmasını Kurmak

  Bizden $P(x)$ polinomunun $x^2-x-6$ ile bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Bölme algoritmasına göre, bir $P(x)$ polinomu bir $B(x)$ polinomuna bölündüğünde, bölüm $Q(x)$ ve kalan $K(x)$ olmak üzere:

  $P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x)$

  Burada $B(x) = x^2-x-6$'dır. Bölen polinomun derecesi $2$ olduğu için, kalan $K(x)$'in derecesi $2$'den küçük olmalıdır. Yani kalan, en fazla birinci dereceden bir polinom olabilir. Bu yüzden kalanı $K(x) = ax+b$ şeklinde ifade edebiliriz.

  Denklemimizi yazalım:

  $P(x) = (x^2-x-6) \cdot Q(x) + ax+b$

• Adım 3: Böleni Çarpanlarına Ayırmak

  Bölen polinom $x^2-x-6$'yı çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $-6$ ve toplamları $-1$ olan iki sayı $-3$ ve $2$'dir. Bu durumda:

  $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$

  Şimdi bu çarpanları ana denklemimizde yerine yazalım:

  $P(x) = (x-3)(x+2) \cdot Q(x) + ax+b$

• Adım 4: Bilgileri Kullanarak Denklem Sistemi Oluşturmak

  Adım 1'de bulduğumuz $P(3)=5$ ve $P(-2)=3$ bilgilerini bu denklemde kullanalım:

  • $x=3$ için:

    $P(3) = (3-3)(3+2) \cdot Q(3) + a(3)+b$

    $5 = (0)(5) \cdot Q(3) + 3a+b$

    $5 = 0 + 3a+b$

    $3a+b = 5$ (Denklem 1)

  • $x=-2$ için:

    $P(-2) = (-2-3)(-2+2) \cdot Q(-2) + a(-2)+b$

    $3 = (-5)(0) \cdot Q(-2) -2a+b$

    $3 = 0 -2a+b$

    $-2a+b = 3$ (Denklem 2)

• Adım 5: Denklem Sistemini Çözmek

  Şimdi $a$ ve $b$ değerlerini bulmak için iki bilinmeyenli iki denklemi çözelim:

  1) $3a+b = 5$

  2) $-2a+b = 3$}

  İkinci denklemi birinci denklemden çıkaralım (veya birinci denklemden ikinci denklemi çıkaralım):

  $(3a+b) - (-2a+b) = 5 - 3$

  $3a+b+2a-b = 2$

  $5a = 2 \implies a = \frac{2}{5}$

  $a$ değerini Denklem 2'de yerine koyalım:

  $-2\left(\frac{2}{5}\right) + b = 3$

  $-\frac{4}{5} + b = 3$

  $b = 3 + \frac{4}{5}$

  $b = \frac{15}{5} + \frac{4}{5} = \frac{19}{5}$

• Adım 6: Kalan Polinomu Yazmak

  Bulduğumuz $a$ ve $b$ değerlerini $K(x) = ax+b$ ifadesinde yerine yazalım:

  $K(x) = \frac{2}{5}x + \frac{19}{5}$

  Bu ifadeyi tek paydada yazarsak:

  $K(x) = \frac{2x+19}{5}$

Bu sonuç, seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.