Bu soruyu çözmek için öncelikle her iki parabolün tepe noktalarını bulmamız, ardından bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- Birinci Parabolün Tepe Noktasını Bulma:
- Birinci parabolün denklemi $y = x^2 - 2x + 3$'tür. Genel bir parabol denklemi $y = ax^2 + bx + c$ şeklinde olduğunda, tepe noktasının x-koordinatı $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur.
- Bu denklemde $a=1$, $b=-2$ ve $c=3$'tür.
- $x_{v1} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.
- Tepe noktasının y-koordinatını bulmak için $x_{v1}$ değerini parabol denkleminde yerine koyarız:
- $y_{v1} = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
- Böylece, birinci parabolün tepe noktası $V_1 = (1, 2)$ olarak bulunur.
- İkinci Parabolün Tepe Noktasını Bulma:
- İkinci parabolün denklemi $y = x^2 + 4x + 1$'dir.
- Bu denklemde $a=1$, $b=4$ ve $c=1$'dir.
- $x_{v2} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$.
- Tepe noktasının y-koordinatını bulmak için $x_{v2}$ değerini parabol denkleminde yerine koyarız:
- $y_{v2} = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.
- Böylece, ikinci parabolün tepe noktası $V_2 = (-2, -3)$ olarak bulunur.
- İki Tepe Noktası Arasındaki Uzaklığı Hesaplama:
- İki nokta $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ arasındaki uzaklık formülü $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ şeklindedir.
- Bizim noktalarımız $V_1 = (1, 2)$ ve $V_2 = (-2, -3)$'tür.
- $d = \sqrt{((-2) - 1)^2 + ((-3) - 2)^2}$
- $d = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2}$
- $d = \sqrt{9 + 25}$
- $d = \sqrt{34}$ birimdir.
Cevap C seçeneğidir.
