tepe noktaları arasındaki uzaklık nasıl bulunur Test 1

Denklemleri $y = (x+1)^2 - 5$ ve $y = -(x-2)^2 + 1$ olan parabollerin tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) $\sqrt{13}$
B) $\sqrt{37}$
C) $3\sqrt{5}$
D) $5\sqrt{3}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bize verilen iki parabol denkleminin tepe noktalarını bulup, bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamamız isteniyor. Parabol denklemlerinin tepe noktalarını bulmak için genel tepe noktası formunu hatırlayalım ve ardından iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak sonuca ulaşalım.

• Adım 1: Parabollerin Tepe Noktası Formunu Hatırlayalım

  Bir parabolün denklemi $y = a(x-h)^2 + k$ şeklinde verildiğinde, parabolün tepe noktası $(h, k)$'dir. Bu form, tepe noktasını doğrudan okumamızı sağlar.

• Adım 2: Birinci Parabolün Tepe Noktasını Bulalım

  Birinci parabolün denklemi $y = (x+1)^2 - 5$ olarak verilmiştir.

  Bu denklemi $y = a(x-h)^2 + k$ formuyla karşılaştıralım:

  • $a = 1$
  • $(x-h) = (x+1) \implies h = -1$
  • $k = -5$

  O halde, birinci parabolün tepe noktası $V_1 = (-1, -5)$'tir.

• Adım 3: İkinci Parabolün Tepe Noktasını Bulalım

  İkinci parabolün denklemi $y = -(x-2)^2 + 1$ olarak verilmiştir.

  Bu denklemi $y = a(x-h)^2 + k$ formuyla karşılaştıralım:

  • $a = -1$
  • $(x-h) = (x-2) \implies h = 2$
  • $k = 1$

  O halde, ikinci parabolün tepe noktası $V_2 = (2, 1)$'dir.

• Adım 4: İki Tepe Noktası Arasındaki Uzaklığı Hesaplayalım

  İki nokta $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ arasındaki uzaklık formülü $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ şeklindedir.

  Bizim tepe noktalarımız $V_1 = (-1, -5)$ ve $V_2 = (2, 1)$.

  Bu değerleri formülde yerine yazalım:

  • $x_1 = -1$, $y_1 = -5$
  • $x_2 = 2$, $y_2 = 1$

  $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-5))^2}$

  $d = \sqrt{(2+1)^2 + (1+5)^2}$

  $d = \sqrt{(3)^2 + (6)^2}$

  $d = \sqrt{9 + 36}$

  $d = \sqrt{45}$

• Adım 5: Uzaklığı Sadeleştirelim

  Bulduğumuz $\sqrt{45}$ değerini sadeleştirebiliriz. $45 = 9 \times 5$ olduğu için:

  $d = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ birimdir.

Bu durumda, parabollerin tepe noktaları arasındaki uzaklık $3\sqrt{5}$ birimdir.

Cevap C seçeneğidir.