Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki farklı parabolün tepe noktalarını bulup, bu tepe noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Birinci Parabolün Tepe Noktasını Bulma
- Birinci parabolün denklemi $y = -x^2 + 6x - 8$.
- Genel parabol denklemi $y = ax^2 + bx + c$ olduğunda, tepe noktasının x-koordinatı $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur.
- Bu denklemde $a = -1$, $b = 6$ ve $c = -8$'dir.
- $x_v = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.
- Şimdi bu $x_v$ değerini parabol denkleminde yerine koyarak tepe noktasının y-koordinatını bulalım:
- $y_v = -(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$.
- O halde, birinci parabolün tepe noktası $V_1 = (3, 1)$'dir.
- 2. Adım: İkinci Parabolün Tepe Noktasını Bulma
- İkinci parabolün denklemi $y = 2x^2 - 4x + 7$.
- Bu denklemde $a = 2$, $b = -4$ ve $c = 7$'dir.
- Tepe noktasının x-koordinatı $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülünü kullanalım:
- $x_v = -\frac{-4}{2(2)} = -\frac{-4}{4} = 1$.
- Şimdi bu $x_v$ değerini parabol denkleminde yerine koyarak tepe noktasının y-koordinatını bulalım:
- $y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 7 = 2 - 4 + 7 = 5$.
- O halde, ikinci parabolün tepe noktası $V_2 = (1, 5)$'tir.
- 3. Adım: Tepe Noktaları Arasındaki Uzaklığı Hesaplama
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ şeklindedir.
- Bizim noktalarımız $V_1 = (3, 1)$ ve $V_2 = (1, 5)$.
- $D = \sqrt{(1 - 3)^2 + (5 - 1)^2}$.
- $D = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2}$.
- $D = \sqrt{4 + 16}$.
- $D = \sqrt{20}$.
- $\sqrt{20}$ ifadesini sadeleştirelim: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
- Yani, parabollerin tepe noktaları arasındaki uzaklık $2\sqrt{5}$ birimdir.
Cevap B seçeneğidir.
