tepe noktaları arasındaki uzaklık nasıl bulunur Test 1

Denklemleri $y = x^2 + 3x + 1$ ve $y = -x^2 + x + 2$ olan parabollerin tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) $\frac{\sqrt{17}}{2}$
B) $\frac{\sqrt{37}}{4}$
C) $\frac{\sqrt{65}}{2}$
D) $\frac{\sqrt{85}}{4}$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki farklı parabolün tepe noktalarını bulup, bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Birinci Parabolün Tepe Noktasını Bulma:

  İlk parabolün denklemi $y = x^2 + 3x + 1$ şeklindedir. Bir parabolün tepe noktasının $x$-koordinatı $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Bu denklemde $a=1$ ve $b=3$ olduğundan:

  • $x_{v1} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}$

  $x_{v1}$ değerini parabol denkleminde yerine koyarak $y_{v1}$ değerini bulalım:

  • $y_{v1} = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 1$
  • $y_{v1} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 1$
  • Paydaları eşitleyelim: $y_{v1} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{4}{4}$
  • $y_{v1} = \frac{9 - 18 + 4}{4} = \frac{-5}{4}$

  Böylece birinci parabolün tepe noktası $V_1 = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{4}\right)$ olarak bulunur.

• İkinci Parabolün Tepe Noktasını Bulma:

  İkinci parabolün denklemi $y = -x^2 + x + 2$ şeklindedir. Yine $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülünü kullanalım. Bu denklemde $a=-1$ ve $b=1$ olduğundan:

  • $x_{v2} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

  $x_{v2}$ değerini parabol denkleminde yerine koyarak $y_{v2}$ değerini bulalım:

  • $y_{v2} = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right) + 2$
  • $y_{v2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2$
  • Paydaları eşitleyelim: $y_{v2} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{8}{4}$
  • $y_{v2} = \frac{-1 + 2 + 8}{4} = \frac{9}{4}$

  Böylece ikinci parabolün tepe noktası $V_2 = \left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ olarak bulunur.

• İki Tepe Noktası Arasındaki Uzaklığı Hesaplama:

  Şimdi $V_1 = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{4}\right)$ ve $V_2 = \left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülü $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ile bulalım:

  • Önce $x$ koordinatları farkını bulalım: $x_2 - x_1 = \frac{1}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
  • Şimdi $y$ koordinatları farkını bulalım: $y_2 - y_1 = \frac{9}{4} - \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{9}{4} + \frac{5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
  • Bu değerleri uzaklık formülünde yerine koyalım:
  • $D = \sqrt{(2)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2}$
  • $D = \sqrt{4 + \frac{49}{4}}$
  • Paydaları eşitleyelim: $D = \sqrt{\frac{16}{4} + \frac{49}{4}}$
  • $D = \sqrt{\frac{16 + 49}{4}}$
  • $D = \sqrt{\frac{65}{4}}$
  • Kök dışına çıkaralım: $D = \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$

  Böylece iki parabolün tepe noktaları arasındaki uzaklık $\frac{\sqrt{65}}{2}$ birim olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.