Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki parabolün tepe noktaları arasındaki uzaklığı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi çözelim.
- 1. Parabolün Tepe Noktasını Bulma:
- İlk parabolün denklemi $y = 3x^2 - 12x + 15$. Bir parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Burada $a=3$ ve $b=-12$'dir.
- $x_1 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
- Şimdi bu $x_1$ değerini parabol denkleminde yerine koyarak tepe noktasının $y$ koordinatını bulalım:
- $y_1 = 3(2)^2 - 12(2) + 15 = 3(4) - 24 + 15 = 12 - 24 + 15 = 3$.
- Böylece, birinci parabolün tepe noktası $V_1(2, 3)$ olarak bulunur.
- 2. Parabolün Tepe Noktasını Bulma:
- İkinci parabolün denklemi $y = -x^2 - 10x - 20$. Burada $a=-1$ ve $b=-10$'dur.
- $x_2 = -\frac{-10}{2 \cdot (-1)} = \frac{10}{-2} = -5$.
- Şimdi bu $x_2$ değerini parabol denkleminde yerine koyarak tepe noktasının $y$ koordinatını bulalım:
- $y_2 = -(-5)^2 - 10(-5) - 20 = -(25) + 50 - 20 = -25 + 50 - 20 = 5$.
- Böylece, ikinci parabolün tepe noktası $V_2(-5, 5)$ olarak bulunur.
- 3. İki Tepe Noktası Arasındaki Uzaklığı Hesaplama:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ şeklindedir. Tepe noktalarımız $V_1(2, 3)$ ve $V_2(-5, 5)$'tir.
- $D = \sqrt{(-5 - 2)^2 + (5 - 3)^2}$
- $D = \sqrt{(-7)^2 + (2)^2}$
- $D = \sqrt{49 + 4}$
- $D = \sqrt{53}$ birim.
Bu durumda, parabollerin tepe noktaları arasındaki uzaklık $\sqrt{53}$ birimdir.
Cevap B seçeneğidir.
