Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı parabolün tepe noktalarını bulup, bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Parabollerin Tepe Noktalarını Bulma
- Bir parabolün denklemi genellikle $y = a(x-h)^2 + k$ şeklinde verildiğinde, parabolün tepe noktası $(h, k)$ koordinatlarına sahiptir. Bu formülü kullanarak her iki parabolün tepe noktalarını bulalım.
- Birinci Parabol: $y = (x-3)^2 + 2$
- Bu denklemde $h=3$ ve $k=2$'dir.
- Dolayısıyla, birinci parabolün tepe noktası $V_1 = (3, 2)$'dir.
- İkinci Parabol: $y = 2(x+1)^2 - 4$
- Bu denklemi $y = a(x-h)^2 + k$ formuna uygun hale getirmek için $(x+1)$ ifadesini $(x-(-1))$ olarak düşünebiliriz.
- Yani, $y = 2(x-(-1))^2 - 4$.
- Bu denklemde $h=-1$ ve $k=-4$'tür.
- Dolayısıyla, ikinci parabolün tepe noktası $V_2 = (-1, -4)$'tür.
- 2. Adım: İki Tepe Noktası Arasındaki Uzaklığı Hesaplama
- İki nokta $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ arasındaki uzaklık formülü $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ şeklindedir.
- Bizim tepe noktalarımız $V_1 = (3, 2)$ ve $V_2 = (-1, -4)$'tür.
- Bu noktaları formülde yerine yazalım:
- $d = \sqrt{((-1)-3)^2 + ((-4)-2)^2}$
- $d = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2}$
- $d = \sqrt{16 + 36}$
- $d = \sqrt{52}$
- 3. Adım: Sonucu Sadeleştirme
- Bulduğumuz $\sqrt{52}$ ifadesini sadeleştirelim. Bunun için 52 sayısını çarpanlarına ayırırız.
- $52 = 4 \times 13$
- $d = \sqrt{4 \times 13}$
- $d = \sqrt{4} \times \sqrt{13}$
- $d = 2\sqrt{13}$ birimdir.
Bu durumda, parabollerin tepe noktaları arasındaki uzaklık $2\sqrt{13}$ birimdir.
Cevap B seçeneğidir.
