9. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 6. senaryo Test 1

Aşağıda verilen koşullardan hangisi, herhangi iki $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$ üçgeninin benzer olması için yeterli değildir?
(Açılar derece cinsindendir.)

A) $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$

B) $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|CA|}{|FD|}$

C) $\angle A = \angle D$, $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|}$

D) $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$

E) $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|}$

İki üçgenin benzer olması için gerekli koşulları hatırlayarak bu soruyu adım adım inceleyelim. İki üçgenin benzer olması için üç temel kriter vardır:

• Açı-Açı (AA) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir. (Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.)
• Kenar-Kenar-Kenar (SSS) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (SAS) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse, bu üçgenler benzerdir.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$

  Bu koşul, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kriteri'nin doğrudan bir ifadesidir. İki üçgenin ikişer açısı eşitse, üçüncü açıları da eşit olmak zorundadır ($\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ ve $\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E$). Dolayısıyla, bu koşul üçgenlerin benzer olması için yeterlidir.

• B) $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|CA|}{|FD|}$

  Bu koşul, Kenar-Kenar-Kenar (SSS) Benzerlik Kriteri'nin doğrudan bir ifadesidir. Üçgenlerin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir. Dolayısıyla, bu koşul üçgenlerin benzer olması için yeterlidir.

• C) $\angle A = \angle D$, $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|}$

  Bu koşul, Kenar-Açı-Kenar (SAS) Benzerlik Kriteri'nin doğrudan bir ifadesidir. Bir açı eşit ve bu açıyı oluşturan kenarlar orantılı ise, üçgenler benzerdir. Dolayısıyla, bu koşul üçgenlerin benzer olması için yeterlidir.

• D) $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$

  Bu koşul, üçgenlerin tüm karşılıklı açılarının eşit olduğunu belirtir. Bu, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kriteri'nin daha kapsamlı bir ifadesidir (çünkü iki açı eşitse üçüncü de eşit olur). Dolayısıyla, bu koşul üçgenlerin benzer olması için yeterlidir.

• E) $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|}$

  Bu koşul, sadece iki kenar çiftinin orantılı olduğunu belirtir. Üçgenlerin benzer olması için bu tek başına yeterli değildir. Örneğin, kenar uzunlukları $3, 4, 5$ olan bir $\triangle ABC$ üçgeni ile kenar uzunlukları $6, 8, 9$ olan bir $\triangle DEF$ üçgenini düşünelim. Burada $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ve $\frac{|BC|}{|EF|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ koşulu sağlanır. Ancak üçüncü kenarlar için $\frac{|CA|}{|FD|} = \frac{5}{9}$ oranı $\frac{1}{2}$'ye eşit değildir. Ayrıca, bu üçgenlerin açıları da farklıdır (birincisi dik üçgen, ikincisi değildir). Dolayısıyla, bu koşul üçgenlerin benzer olması için yeterli değildir.

Bu durumda, verilen koşullardan sadece iki kenar uzunluğunun orantılı olması, üçgenlerin benzer olması için yeterli değildir.

Cevap E seçeneğidir.