10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 2

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu $f(x) = 3x - 7$ şeklinde verilmiştir.
Buna göre, $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x) = \frac{x+7}{3}$

B) $f^{-1}(x) = \frac{x-7}{3}$

C) $f^{-1}(x) = 7x - 3$

D) $f^{-1}(x) = 3x + 7$

E) $f^{-1}(x) = \frac{x}{3} - 7$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir fonksiyonun tersini bulmak, o fonksiyonun yaptığı işlemleri "geri alan" bir fonksiyonu bulmak demektir. Gelin, $f(x) = 3x - 7$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$'i adım adım ve anlaşılır bir şekilde nasıl bulacağımızı öğrenelim.

• Adım 1: Fonksiyonu $y$ cinsinden yazın.

  Fonksiyonu $f(x)$ yerine $y$ kullanarak yazmak, denklemi daha alışık olduğumuz bir formata dönüştürmemizi sağlar. Bu, fonksiyonun çıkış değerini temsil eder.

  $y = 3x - 7$

• Adım 2: $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirin.

  Bir fonksiyonun tersini bulurken, giriş ($x$) ve çıkış ($y$) değerlerinin rollerini değiştiririz. Bu adım, ters fonksiyonun tanımını matematiksel olarak ifade etmemizi sağlar. Yani, $x$ yerine $y$, $y$ yerine $x$ yazıyoruz.

  $x = 3y - 7$

• Adım 3: Yeni denklemi $y$ için çözün.

  Şimdi amacımız, $y$'yi yalnız bırakarak, $x$ cinsinden bir ifade elde etmektir. Bu ifade, ters fonksiyonumuz olacaktır. Denklemi adım adım çözelim:

  • Önce $-7$'yi eşitliğin diğer tarafına atın. İşaret değiştirerek geçer:

  $x + 7 = 3y$

  • Şimdi $y$'yi yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını $3$'e bölün:

  $\frac{x+7}{3} = y$

• Adım 4: $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazın.

  Elde ettiğimiz $y$ ifadesi, orijinal fonksiyonumuzun tersidir. Bu yüzden $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazabiliriz.

  $f^{-1}(x) = \frac{x+7}{3}$

Bulduğumuz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.