Denklem çözümünde adım adım ilerleyelim:
Bir karekökün içi negatif olamaz ve bir karekökün sonucu (esas karekök) negatif olamaz. Bu nedenle iki koşulu sağlamalıyız:
Kökün içi negatif olmamalı: $\sqrt{2x+1}$ ifadesinin tanımlı olması için $2x+1 \ge 0$ olmalıdır. Buradan $2x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{2}$ elde ederiz.
Kökün sonucu negatif olmamalı: Denklemin sol tarafı $\sqrt{2x+1}$ her zaman negatif olmayan bir değerdir. Dolayısıyla denklemin sağ tarafı olan $x-1$ de negatif olmamalıdır. Yani $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$ olmalıdır.
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, denklemin çözüm kümesindeki $x$ değerleri $x \ge 1$ koşulunu sağlamalıdır. Bulduğumuz kökleri kontrol ederken bu koşulu kullanacağız.
Kökten kurtulmak için denklemin her iki tarafının karesini alalım:
$(\sqrt{2x+1})^2 = (x-1)^2$
$2x+1 = x^2 - 2x + 1$
Şimdi denklemi standart bir ikinci dereceden denklem (kuadratik denklem) haline getirelim. Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
$x^2 - 2x + 1 - 2x - 1 = 0$
$x^2 - 4x = 0$
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Ortak çarpan $x$'i dışarı alalım:
$x(x-4) = 0$
Buradan iki olası çözüm elde ederiz: $x_1 = 0$ veya $x_2 = 4$.
Şimdi bulduğumuz bu köklerin, başlangıçta belirlediğimiz $x \ge 1$ tanım kümesi koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
$x_1 = 0$ için: $0 \ge 1$ koşulunu sağlamaz. Bu yüzden $x=0$ bir "sahte kök"tür ve denklemi sağlamaz. Orijinal denklemde yerine koyarsak: $\sqrt{2(0)+1} = 0-1 \implies \sqrt{1} = -1 \implies 1 = -1$, ki bu yanlıştır.
$x_2 = 4$ için: $4 \ge 1$ koşulunu sağlar. Bu yüzden $x=4$ denklemin geçerli bir çözümüdür. Orijinal denklemde yerine koyarsak: $\sqrt{2(4)+1} = 4-1 \implies \sqrt{8+1} = 3 \implies \sqrt{9} = 3 \implies 3 = 3$, ki bu doğrudur.
Denklemi sağlayan tek geçerli $x$ değeri $4$'tür.
Bu durumda, denklemi sağlayan $x$ değerlerinin toplamı $4$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
