10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo meb Test 1

Bir dikdörtgenin alanı $120 \text{ cm}^2$ ve çevresi $46 \text{ cm}$'dir. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri olabilir?

A) $x^2 - 23x + 120 = 0$

B) $x^2 - 46x + 120 = 0$

C) $x^2 - 23x + 60 = 0$

D) $x^2 - 120x + 46 = 0$

E) $x^2 - 60x + 23 = 0$

Bu soruyu çözmek için, bir dikdörtgenin alan ve çevre formüllerini ve ikinci dereceden denklemlerin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Tanımlayalım:

  Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları genellikle $a$ ve $b$ harfleriyle gösterilir. Biz de bu kenar uzunluklarını $a$ ve $b$ olarak kabul edelim.

• Verilen Bilgileri Matematiksel İfadelere Dönüştürelim:
  • Dikdörtgenin alanı $120 \text{ cm}^2$ olarak verilmiş. Alan formülü $A = a \times b$ olduğundan, bu bize $a \times b = 120$ denklemini verir.
  • Dikdörtgenin çevresi $46 \text{ cm}$ olarak verilmiş. Çevre formülü $P = 2 \times (a + b)$ olduğundan, bu bize $2 \times (a + b) = 46$ denklemini verir.
• Çevre Denklemini Sadeleştirelim:

  $2 \times (a + b) = 46$ denklemini her iki tarafı $2$'ye bölerek sadeleştirebiliriz. Bu durumda $a + b = 23$ sonucunu elde ederiz.

• Kenar Uzunlukları ve İkinci Dereceden Denklem İlişkisini Kuralım:

  Şimdi elimizde iki önemli bilgi var:

  • Kenar uzunluklarının çarpımı: $a \times b = 120$
  • Kenar uzunluklarının toplamı: $a + b = 23$

  Hatırlayalım ki, kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan bir ikinci dereceden denklem genel olarak $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \times x_2) = 0$ şeklinde yazılabilir. Burada $x_1 + x_2$ kökler toplamını, $x_1 \times x_2$ ise kökler çarpımını temsil eder.

  Bizim durumumuzda, dikdörtgenin kenar uzunlukları ($a$ ve $b$) bu denklemin kökleri olacaktır. Yani:

  • Kökler toplamı ($a + b$) yerine $23$ yazacağız.
  • Kökler çarpımı ($a \times b$) yerine $120$ yazacağız.
• Denklemi Oluşturalım:

  Bu değerleri genel ikinci dereceden denklem formülünde yerine koyarsak:

  $x^2 - (23)x + (120) = 0$

  Yani, $x^2 - 23x + 120 = 0$ denklemini elde ederiz.

• Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Elde ettiğimiz denklemi verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğindeki denklemin bizim bulduğumuz denklemle aynı olduğunu görürüz.

  • A) $x^2 - 23x + 120 = 0$
  • B) $x^2 - 46x + 120 = 0$
  • C) $x^2 - 23x + 60 = 0$
  • D) $x^2 - 120x + 46 = 0$
  • E) $x^2 - 60x + 23 = 0$

Cevap A seçeneğidir.