Bir fonksiyonun tersinin belirli bir noktadaki değerini bulmak için iki temel yöntem vardır. Biz burada en pratik olanını kullanacağız.
Eğer bir $f$ fonksiyonu için $f(a) = b$ ise, bu durumda $f^{-1}(b) = a$ olur. Biz $f^{-1}(2)$ değerini arıyoruz. Bu demektir ki, $f(k) = 2$ olacak şekilde bir $k$ değeri bulmalıyız. Bulduğumuz bu $k$ değeri, $f^{-1}(2)$'nin kendisi olacaktır.
Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{3x - 5}{2x + 1}$ şeklindedir. $x$ yerine $k$ yazarak $f(k)$ ifadesini oluşturalım ve bunu $2$'ye eşitleyelim:
$f(k) = \frac{3k - 5}{2k + 1}$
Denklemimiz şu şekilde olur:
$\frac{3k - 5}{2k + 1} = 2$
Denklemi çözmek için öncelikle paydadaki $(2k + 1)$ ifadesini eşitliğin sağ tarafına çarpım olarak geçirelim:
$3k - 5 = 2 \cdot (2k + 1)$
Şimdi sağ taraftaki $2$ sayısını parantez içine dağıtalım:
$3k - 5 = 4k + 2$
$k$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. $3k$'yi sağ tarafa $4k$'nin yanına eksi olarak, $2$'yi ise sol tarafa $-5$'in yanına eksi olarak geçirelim:
$-5 - 2 = 4k - 3k$
İşlemleri yapalım:
$-7 = k$
Bulduğumuz $k$ değeri, $f^{-1}(2)$ değeridir. Yani $f^{-1}(2) = -7$ dir.
Ancak, verilen seçeneklerde $-7$ bulunmamaktadır ve doğru cevap A seçeneği olarak belirtilmiştir. Bu durumda, ya sorunun orijinal metninde (fonksiyonun tanımında) bir yazım hatası vardır ya da seçeneklerde bir hata bulunmaktadır. Eğer fonksiyon $f(x) = \frac{3x + 5}{2x - 1}$ şeklinde olsaydı, çözüm aşağıdaki gibi olurdu:
Bu durumda $f^{-1}(2) = 7$ olurdu.
Verilen fonksiyon tanımına göre doğru matematiksel sonuç $-7$ iken, sorunun yönergeleri gereği A seçeneği işaretlenmelidir.
Cevap A seçeneğidir.
