$f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun grafiği $y$ ekseni boyunca $2$ birim yukarı ve $x$ ekseni boyunca $3$ birim sağa ötelenirse yeni fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisi olur?
A) $g(x) = \sqrt{x-3} + 2$
B) $g(x) = \sqrt{x+3} + 2$
C) $g(x) = \sqrt{x-3} - 2$
D) $g(x) = \sqrt{x+3} - 2$
E) $g(x) = \sqrt{x+2} + 3$
Fonksiyon grafiği öteleme problemleri, bir fonksiyonun grafiğinin koordinat düzleminde nasıl hareket ettiğini anlamamızı sağlar. Temel bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerinde yapılan ötelemeler, fonksiyonun denkleminde belirli değişikliklere yol açar.
- Temel Fonksiyonu Belirleme:
Soruda verilen başlangıç fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x}$'tir. Bu, karekök fonksiyonunun standart halidir ve grafiği orijinden başlayıp sağa doğru artarak ilerler.
- $y$ Ekseni Boyunca Öteleme Kuralı:
Bir fonksiyonun grafiği $y$ ekseni boyunca $k$ birim yukarı ötelenirse, yeni fonksiyonun denklemi $f(x) + k$ şeklinde olur. Eğer $k$ birim aşağı ötelenirse $f(x) - k$ şeklinde olur.
Bizim problemimizde, grafik $y$ ekseni boyunca $2$ birim yukarı öteleniyor. Bu durumda, fonksiyonumuza $2$ eklememiz gerekir.
Şu anki fonksiyonumuz: $f_1(x) = \sqrt{x} + 2$.
- $x$ Ekseni Boyunca Öteleme Kuralı:
Bir fonksiyonun grafiği $x$ ekseni boyunca $h$ birim sağa ötelenirse, yeni fonksiyonun denklemi $f(x-h)$ şeklinde olur. Eğer $h$ birim sola ötelenirse $f(x+h)$ şeklinde olur.
Burada dikkat etmemiz gereken nokta, $x$ ekseni üzerindeki ötelemelerde işaretin tersine çalışmasıdır (sağa öteleme için $x-h$, sola öteleme için $x+h$).
Bizim problemimizde, grafik $x$ ekseni boyunca $3$ birim sağa öteleniyor. Bu durumda, fonksiyonumuzdaki $x$ yerine $(x-3)$ yazmamız gerekir.
Bu kuralı bir önceki adımda bulduğumuz $f_1(x) = \sqrt{x} + 2$ fonksiyonuna uygulayacağız. Yani $\sqrt{x}$ ifadesindeki $x$ yerine $(x-3)$ yazmalıyız.
- Yeni Fonksiyon Denklemini Oluşturma:
$f_1(x) = \sqrt{x} + 2$ fonksiyonunda $x$ yerine $(x-3)$ yazdığımızda, yeni fonksiyon $g(x)$ aşağıdaki gibi olur:
$g(x) = \sqrt{(x-3)} + 2$
- Seçeneklerle Karşılaştırma:
Bulduğumuz yeni fonksiyon denklemi $g(x) = \sqrt{x-3} + 2$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
