10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo meb Test 1

Analitik düzlemde $A(x, y)$ noktasının $B(5, -2)$ noktasına uzaklığı $C(1, 1)$ noktasına uzaklığına eşittir. Buna göre $x$ ile $y$ arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $8x - 6y - 27 = 0$

B) $4x - 3y - 13 = 0$

C) $8x - 6y - 13 = 0$

D) $4x - 3y - 27 = 0$

E) $x - y - 5 = 0$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, analitik düzlemde bir noktanın diğer iki noktaya olan uzaklıklarının eşitliği prensibini kullanarak $x$ ve $y$ arasındaki bağıntıyı bulacağız. Temel olarak iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız ve cebirsel işlemlerle denklemi sadeleştireceğiz.

• 1. Adım: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülünü Hatırlayalım

  Analitik düzlemde $P(x_1, y_1)$ ve $Q(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık $d(P, Q)$ aşağıdaki formülle bulunur:

  $d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• 2. Adım: Verilen Bilgileri Formüle Uygulayalım

  Soruda $A(x, y)$ noktasının $B(5, -2)$ noktasına uzaklığı, $C(1, 1)$ noktasına uzaklığına eşit olduğu belirtilmiştir. Yani $d(A, B) = d(A, C)$.

  • $A(x, y)$ ve $B(5, -2)$ noktaları arasındaki uzaklık ($d(A, B)$):

    $d(A, B) = \sqrt{(5 - x)^2 + (-2 - y)^2}$

  • $A(x, y)$ ve $C(1, 1)$ noktaları arasındaki uzaklık ($d(A, C)$):

    $d(A, C) = \sqrt{(1 - x)^2 + (1 - y)^2}$

• 3. Adım: Denklemi Kuralım ve Karelerini Alalım

  $d(A, B) = d(A, C)$ eşitliğini kullanarak denklemi yazalım:

  $\sqrt{(5 - x)^2 + (-2 - y)^2} = \sqrt{(1 - x)^2 + (1 - y)^2}$

  Kareköklerden kurtulmak için her iki tarafın da karesini alalım:

  $(5 - x)^2 + (-2 - y)^2 = (1 - x)^2 + (1 - y)^2$

• 4. Adım: Kare İfadelerini Açalım

  Her bir terimi $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ özdeşliğini kullanarak açalım:

  • $(5 - x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = 25 - 10x + x^2$
  • $(-2 - y)^2 = (-(2 + y))^2 = (2 + y)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot y + y^2 = 4 + 4y + y^2$
  • $(1 - x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$
  • $(1 - y)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot y + y^2 = 1 - 2y + y^2$
• 5. Adım: Açtığımız İfadeleri Denklemde Yerine Yazalım ve Sadeleştirelim

  Denklemimiz şu hale gelir:

  $(25 - 10x + x^2) + (4 + 4y + y^2) = (1 - 2x + x^2) + (1 - 2y + y^2)$

  Şimdi her iki taraftaki $x^2$ ve $y^2$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $25 - 10x + 4 + 4y = 1 - 2x + 1 - 2y$

  Sabit terimleri ve $x, y$ terimlerini bir araya getirelim:

  $29 - 10x + 4y = 2 - 2x - 2y$

• 6. Adım: Denklemi Düzenleyerek Bağıntıyı Bulalım

  Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım (genellikle $x$ teriminin katsayısını pozitif yapacak şekilde):

  $29 - 2 - 10x + 2x + 4y + 2y = 0$

  $27 - 8x + 6y = 0$

  Daha düzenli bir şekilde yazarsak:

  $-8x + 6y + 27 = 0$

  Her iki tarafı $-1$ ile çarparak $x$ teriminin katsayısını pozitif yapalım:

  $8x - 6y - 27 = 0$

  Bu, $x$ ile $y$ arasındaki bağıntıdır.

Bu bağıntı, $A(x, y)$ noktasının $B(5, -2)$ ve $C(1, 1)$ noktalarına eşit uzaklıkta olduğunu gösterir. Geometrik olarak bu denklem, $B$ ve $C$ noktalarını birleştiren doğru parçasının dik orta doğrusunu temsil eder.

Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz bağıntının A seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.