11. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 1

$O$ merkezli bir çemberde $AB$ bir kiriş ve $AC$ çembere $A$ noktasında teğettir. $m(\widehat{BAC}) = 65^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{AOB})$ kaç derecedir?

A) $110$

B) $120$

C) $130$

D) $140$

E) $150$

Sevgili öğrenciler, bu problemde çemberde açılarla ilgili temel bilgileri kullanarak bir sonuca ulaşacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Soruda bize $O$ merkezli bir çember verildiğini, $AB$'nin bir kiriş olduğunu ve $AC$'nin çembere $A$ noktasında teğet olduğunu biliyoruz. Ayrıca, teğet ile kiriş arasında kalan $m(\widehat{BAC})$ açısının $65^\circ$ olduğu verilmiş. Bizden istenen ise merkez açısı olan $m(\widehat{AOB})$'nin kaç derece olduğudur.

• 2. Teğet-Kiriş Açı Teoremini Uygulayalım:

  Bir çemberde, bir teğet ile bir kirişin kesiştiği noktada oluşan açıya "teğet-kiriş açı" denir. Bu açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

  Burada $AC$ teğet, $AB$ ise kiriştir. Dolayısıyla $m(\widehat{BAC})$ bir teğet-kiriş açıdır ve gördüğü yay $\widehat{AB}$ yayıdır.

  Bu teoreme göre:

  $m(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2} m(\widehat{AB})$

  Verilen $m(\widehat{BAC}) = 65^\circ$ değerini yerine yazarsak:

  $65^\circ = \frac{1}{2} m(\widehat{AB})$

  Buradan $\widehat{AB}$ yayının ölçüsünü bulabiliriz:

  $m(\widehat{AB}) = 2 \times 65^\circ = 130^\circ$

• 3. Merkez Açı Teoremini Uygulayalım:

  Bir çemberde, merkezi köşesi olan ve kolları çemberin yarıçapları olan açıya "merkez açı" denir. Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

  Bizden istenen $m(\widehat{AOB})$ açısı, $O$ merkezli çemberde bir merkez açıdır. Bu açı da $\widehat{AB}$ yayını görmektedir.

  Bu teoreme göre:

  $m(\widehat{AOB}) = m(\widehat{AB})$

• 4. Sonucu Bulalım:

  2. adımda $\widehat{AB}$ yayının ölçüsünü $130^\circ$ olarak bulmuştuk. 3. adımda ise merkez açının bu yaya eşit olduğunu belirledik.

  O halde, $m(\widehat{AOB}) = 130^\circ$ olur.

Cevap C seçeneğidir.