Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
$ x^2 - 3x - 10 < 0 $
$ x^2 - x - 2 \ge 0 $
A) $ (-2, -1] \cup [2, 5) $
B) $ [-1, 2] $
C) $ (-\infty, -2) \cup (5, \infty) $
D) $ [-2, 5] $
E) $ (-1, 2) $
Bu eşitsizlik sistemini çözmek için, her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözecek ve ardından elde ettiğimiz çözüm kümelerinin kesişimini bulacağız.
- 1. Eşitsizliği Çözelim: $x^2 - 3x - 10 < 0$
- Öncelikle $x^2 - 3x - 10 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-5)(x+2) = 0$.
- Kökler $x_1 = 5$ ve $x_2 = -2$'dir.
- Şimdi bu kökleri kullanarak eşitsizliğin işaretini inceleyelim. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu durumda ifade kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir.
- Bizim aradığımız $x^2 - 3x - 10 < 0$ olduğu için, çözüm kümesi kökler arasıdır: $S_1 = (-2, 5)$.
- 2. Eşitsizliği Çözelim: $x^2 - x - 2 \ge 0$
- Öncelikle $x^2 - x - 2 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-2)(x+1) = 0$.
- Kökler $x_1 = 2$ ve $x_2 = -1$'dir.
- Şimdi bu kökleri kullanarak eşitsizliğin işaretini inceleyelim. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu durumda ifade kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir.
- Bizim aradığımız $x^2 - x - 2 \ge 0$ olduğu için, çözüm kümesi köklerin dışındaki bölgeler ve köklerin kendisidir: $S_2 = (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.
- 3. Çözüm Kümelerinin Kesişimini Bulalım:
- İlk eşitsizliğin çözüm kümesi: $S_1 = (-2, 5)$
- İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi: $S_2 = (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$
- Şimdi bu iki kümeyi sayı doğrusu üzerinde düşünerek kesişimlerini bulalım.
- $S_1$ kümesi $-2$ ile $5$ arasındaki tüm sayıları içerir ($-2$ ve $5$ dahil değil).
- $S_2$ kümesi $-1$ ve daha küçük tüm sayıları ($-1$ dahil) ile $2$ ve daha büyük tüm sayıları ($2$ dahil) içerir.
- Bu iki kümenin kesişimi iki ayrı aralıktan oluşur:
- $(-2, 5)$ ile $(-\infty, -1]$ kümesinin kesişimi: $(-2, -1]$.
- $(-2, 5)$ ile $[2, \infty)$ kümesinin kesişimi: $[2, 5)$.
- Bu iki aralığın birleşimi, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir: $S = (-2, -1] \cup [2, 5)$.
Bu çözüm kümesi seçeneklerdeki A şıkkına karşılık gelmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
