Bu soruda, bir çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğetler ve çemberin merkezi arasındaki açı ilişkisini adım adım inceleyelim.
Soruda bize verilen bilgilere göre, bir çemberin merkezi $O$ ve dışındaki bir $P$ noktasından çembere $PA$ ve $PB$ teğetleri çizilmiştir. $A$ ve $B$ noktaları teğetlerin çembere değdiği noktalardır.
Ayrıca, $m(\angle APB) = 70^\circ$ olarak verilmiştir. Bizden $m(\angle AOB)$ açısının kaç derece olduğunu bulmamız isteniyor.
Geometride çok önemli bir kuralımız var: Çemberin merkezinden teğet noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir. Bu kuralı kullanarak aşağıdaki açıları belirleyebiliriz:
Çemberin merkezi $O$ noktasından teğet noktası $A$'ya çizilen $OA$ yarıçapı, $PA$ teğetine diktir. Bu durumda $m(\angle OAP) = 90^\circ$ olur.
Benzer şekilde, $O$ noktasından teğet noktası $B$'ye çizilen $OB$ yarıçapı, $PB$ teğetine diktir. Bu durumda $m(\angle OBP) = 90^\circ$ olur.
Şimdi $A, O, B, P$ noktalarını birleştirdiğimizde bir dörtgen oluştuğunu fark edelim: $AOBP$ dörtgeni. Bir dörtgenin iç açılarının toplamı her zaman $360^\circ$'dir.
$AOBP$ dörtgeninin iç açıları şunlardır:
$m(\angle OAP) = 90^\circ$ (yarıçap-teğet dikliği kuralından)
$m(\angle OBP) = 90^\circ$ (yarıçap-teğet dikliği kuralından)
$m(\angle APB) = 70^\circ$ (soruda verilen bilgi)
$m(\angle AOB)$ (bulmak istediğimiz açı)
Bu açıları dörtgenin iç açıları toplamı formülünde yerine koyalım:
$m(\angle AOB) + m(\angle OBP) + m(\angle APB) + m(\angle OAP) = 360^\circ$
$m(\angle AOB) + 90^\circ + 70^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
Denklemi çözerek $m(\angle AOB)$ açısını bulalım:
$m(\angle AOB) + 250^\circ = 360^\circ$
$m(\angle AOB) = 360^\circ - 250^\circ$
$m(\angle AOB) = 110^\circ$
Böylece $m(\angle AOB)$ açısının $110^\circ$ olduğunu bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
