Bir $O$ merkezli çemberde, dışındaki bir $P$ noktasından çizilen teğetler çembere $A$ ve $B$ noktalarında değmektedir. Eğer $PA = (3x - 1)$ birim ve $PB = (x + 7)$ birim ise, $x$ değeri kaçtır?
A) $ 2 $
B) $ 3 $
C) $ 4 $
D) $ 5 $
E) $ 6 $
Sevgili öğrenciler, bu problemde çemberin önemli bir özelliğini kullanarak bir denklem kurup $x$ değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Problemi Anlayalım: Bir çemberin dışındaki bir $P$ noktasından çembere iki teğet çizilmiştir. Bu teğetler çembere $A$ ve $B$ noktalarında değmektedir. Bize bu teğet parçalarının uzunlukları cebirsel ifadelerle verilmiş: $PA = (3x - 1)$ birim ve $PB = (x + 7)$ birim. Bizden $x$ değerini bulmamız isteniyor.
- Temel Geometrik Prensibi Hatırlayalım: Çemberler konusunda öğrendiğimiz önemli bir kural vardır: Bir çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen teğet parçalarının uzunlukları birbirine eşittir. Yani, $P$ noktasından çizilen $PA$ ve $PB$ teğetlerinin uzunlukları birbirine eşit olmalıdır.
- Denklemi Kuralım: Bu prensibi kullanarak bir denklem oluşturabiliriz. Madem ki $PA = PB$, o zaman verilen ifadeleri birbirine eşitleyebiliriz:
$$(3x - 1) = (x + 7)$$
- Denklemi Çözelim: Şimdi bu basit doğrusal denklemi $x$ için çözelim. Amacımız $x$ terimlerini denklemin bir tarafına, sabit sayıları ise diğer tarafına toplamak.
- Önce $x$ terimini denklemin sol tarafına alalım. Bunun için denklemin her iki tarafından $x$ çıkarırız:
$$3x - x - 1 = x - x + 7$$
$$2x - 1 = 7$$
- Şimdi sabit sayıyı denklemin sağ tarafına alalım. Bunun için denklemin her iki tarafına $1$ ekleriz:
$$2x - 1 + 1 = 7 + 1$$
$$2x = 8$$
- Son olarak, $x$'i yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $2$'ye böleriz:
$$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$$
$$x = 4$$
- Cevabı Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı ama Faydalı): Bulduğumuz $x$ değerini teğet uzunluklarında yerine koyarak sağlamasını yapabiliriz:
- $PA = 3x - 1 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$ birim.
- $PB = x + 7 = 4 + 7 = 11$ birim.
Gördüğümüz gibi, $PA = PB = 11$ birim. Bu da $x=4$ değerinin doğru olduğunu gösterir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $x$ değerini $4$ olarak buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
