Yarıçapı $6$ birim olan bir çembere, dışındaki bir $P$ noktasından teğet çizilmiştir. Teğetin değme noktası $A$ olmak üzere, $OP = 10$ birim ise $PA$ uzunluğu kaç birimdir?
A) $ 6 $
B) $ 7 $
C) $ 8 $
D) $ 9 $
E) $ 10 $
Öncelikle, soruda verilen bilgileri görselleştirelim. Bir çemberimiz var ve merkezi $O$ olsun. Yarıçapı $r = 6$ birimdir. Çemberin dışındaki bir $P$ noktasından çembere bir teğet çizilmiştir. Teğetin çembere değdiği nokta $A$ olarak verilmiştir. $O$ noktasından $P$ noktasına olan uzaklık $OP = 10$ birimdir. Bizden $PA$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
Geometride çok önemli bir kural vardır: Bir çembere çizilen teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Yani, $OA$ yarıçapı ile $PA$ teğeti birbirine diktir. Bu durumda, $\angle OAP = 90^\circ$ olur.
Bu bilgi sayesinde, $OAP$ üçgeninin bir dik üçgen olduğunu anlarız. Dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür. Burada hipotenüs $OP$ kenarıdır.
Dik üçgenlerde kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Yani, $OA^2 + PA^2 = OP^2$.
Şimdi bilinen değerleri bu denkleme yerleştirelim:
