Bu soruda, çember ve teğetlerle ilgili temel geometrik özellikleri kullanarak bir açı hesaplaması yapacağız. Adım adım ilerleyelim:
Soruda bize $O$ merkezli bir çemberden ve çember dışındaki bir $P$ noktasından çizilen teğetlerden bahsediliyor. Bu teğetler çembere $A$ ve $B$ noktalarında değiyor. Ayrıca $m(\angle APB) = 80^\circ$ olduğu verilmiş ve bizden $m(\angle AOB)$ açısını bulmamız isteniyor.
Çemberin önemli özelliklerinden biri şudur: Çembere teğet olan bir doğru, değme noktasından çizilen yarıçapa diktir. Bu kuralı $A$ ve $B$ noktaları için uygulayalım:
$PA$ doğrusu $A$ noktasında çembere teğet olduğu için, $OA$ yarıçapı $PA$ teğetine diktir. Bu durumda $m(\angle OAP) = 90^\circ$ olur.
Benzer şekilde, $PB$ doğrusu $B$ noktasında çembere teğet olduğu için, $OB$ yarıçapı $PB$ teğetine diktir. Bu durumda $m(\angle OBP) = 90^\circ$ olur.
Bu iki bilgi, çözüm için çok kritik!
$A$, $O$, $B$ ve $P$ noktalarını birleştirdiğimizde bir dörtgen oluştuğunu fark edelim: $AOBP$ dörtgeni.
Bir dörtgenin iç açılarının toplamı $360^\circ$'dir. Bu dörtgenin iç açıları şunlardır: $m(\angle OAP)$, $m(\angle APB)$, $m(\angle OBP)$ ve $m(\angle AOB)$.
Şimdi bildiğimiz açı değerlerini dörtgenin iç açıları toplamı formülünde yerine koyalım:
$m(\angle OAP) + m(\angle APB) + m(\angle OBP) + m(\angle AOB) = 360^\circ$
Yukarıdaki adımlardan bildiğimiz değerler:
$m(\angle OAP) = 90^\circ$
$m(\angle APB) = 80^\circ$ (verilmiş)
$m(\angle OBP) = 90^\circ$
Bu değerleri denkleme yerleştirelim:
$90^\circ + 80^\circ + 90^\circ + m(\angle AOB) = 360^\circ$
Bilinen açıları toplayalım:
$260^\circ + m(\angle AOB) = 360^\circ$
$m(\angle AOB)$ açısını yalnız bırakmak için $260^\circ$'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
$m(\angle AOB) = 360^\circ - 260^\circ$
$m(\angle AOB) = 100^\circ$
Böylece, $m(\angle AOB)$ açısının $100^\circ$ olduğunu bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
