Bu soruda, yarıçapı ve merkez açısı verilen bir daire parçasının alanını bulmamız isteniyor. "Daire parçası" terimi bazen "daire dilimi" (iki yarıçap ve yay arasında kalan alan), bazen de "daire segmenti" (bir kiriş ve yay arasında kalan alan) anlamında kullanılabilir. Sorunun seçeneklerine baktığımızda, doğru cevabın daire segmenti alanına karşılık geldiğini görüyoruz. Bu nedenle, çözümü daire segmentinin alanını bularak yapacağız.
Dairenin yarıçapı ($r$) = $8$ cm
Merkez açı ($\alpha$) = $90^\circ$
$\pi$ yerine $3$ almamız isteniyor.
Öncelikle, $90^\circ$'lik merkez açısının oluşturduğu daire diliminin (sektörün) alanını bulalım. Bir daire diliminin alanı, tüm dairenin alanının, merkez açının $360^\circ$'ye oranına eşittir.
Tüm dairenin alanı formülü: $A_{daire} = \pi r^2$
Daire diliminin alanı formülü: $A_{dilim} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$
Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:
$A_{dilim} = 3 \cdot (8)^2 \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ}$
$A_{dilim} = 3 \cdot 64 \cdot \frac{1}{4}$
$A_{dilim} = 3 \cdot 16$
$A_{dilim} = 48$ cm$^2$
Daire segmentinin alanını bulmak için, daire diliminin alanından, dilimi oluşturan iki yarıçap ve kirişin oluşturduğu üçgenin alanını çıkarmamız gerekir. Merkez açımız $90^\circ$ olduğu için, bu üçgen bir dik üçgendir ve dik kenarları yarıçap uzunluğundadır ($r=8$ cm).
Dik üçgenin alanı formülü: $A_{üçgen} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}$
Burada taban ve yükseklik yarıçaplar olduğu için:
$A_{üçgen} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r$
$A_{üçgen} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8$
$A_{üçgen} = \frac{1}{2} \cdot 64$
$A_{üçgen} = 32$ cm$^2$
Daire parçasının (segmentinin) alanı, daire diliminin alanından üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.
$A_{segment} = A_{dilim} - A_{üçgen}$
$A_{segment} = 48 \text{ cm}^2 - 32 \text{ cm}^2$
$A_{segment} = 16$ cm$^2$
Böylece, yarıçapı $8$ cm olan bir dairede $90^\circ$'lik merkez açısının gördüğü daire parçasının alanı $16$ cm$^2$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
