$\int x \cdot (x^2+3)^4 dx$ integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{(x^2+3)^5}{10} + C$
B) $\frac{(x^2+3)^5}{5} + C$
C) $\frac{(x^2+3)^5}{2} + C$
D) $\frac{x^2(x^2+3)^5}{10} + C$
E) $\frac{x^2(x^2+3)^5}{5} + C$
Bu integral sorusunu çözmek için genellikle "değişken değiştirme" veya "u-substitüsyonu" yöntemini kullanırız. Bu yöntem, integralin içindeki karmaşık bir ifadeyi daha basit bir değişkene dönüştürerek çözümü kolaylaştırmamızı sağlar.
- Adım 1: Uygun Bir $u$ Değişkeni Seçme
- İntegralimiz $\int x \cdot (x^2+3)^4 dx$ şeklindedir. Parantez içindeki ifade $(x^2+3)$ ve bu ifadenin türevi $2x$ (sabit bir çarpan dışında $x$) dışarıda bir çarpan olarak bulunmaktadır. Bu durum, değişken değiştirme yöntemi için mükemmel bir işarettir.
- Bu nedenle, $u = x^2+3$ seçimi uygun olacaktır.
- Adım 2: $du$ İfadesini Bulma
- Şimdi seçtiğimiz $u$ değişkeninin diferansiyelini (türevini) almalıyız.
- $u = x^2+3$ ise, her iki tarafın $x$'e göre türevini alıp $dx$ ile çarparız:
- $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2+3)$
- $\frac{du}{dx} = 2x$
- Buradan $du = 2x dx$ elde ederiz.
- Adım 3: İntegrali $u$ Cinsinden Yeniden Yazma
- Orijinal integralimiz $\int (x^2+3)^4 \cdot x dx$ idi.
- Biz $u = x^2+3$ ve $du = 2x dx$ bulduk.
- İntegraldeki $x dx$ ifadesini $du$ cinsinden yazmak için $du = 2x dx$ eşitliğini kullanırız. Her iki tarafı $2$'ye bölersek:
- $x dx = \frac{1}{2} du$
- Şimdi bu ifadeleri orijinal integrale yerleştirelim:
- $\int (x^2+3)^4 \cdot x dx = \int u^4 \cdot \frac{1}{2} du$
- Sabit çarpanı integral dışına alabiliriz:
- $= \frac{1}{2} \int u^4 du$
- Adım 4: İntegrali Çözme
- Şimdi daha basit olan $\frac{1}{2} \int u^4 du$ integralini çözebiliriz. Güç kuralını hatırlayalım: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.
- Burada $n=4$ olduğu için:
- $\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4+1}}{4+1} + C$
- $= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C$
- $= \frac{u^5}{10} + C$
- Adım 5: $u$ Yerine Orjinal İfadeyi Koyma
- Son olarak, $u = x^2+3$ değişkenini yerine koyarak sonucu $x$ cinsinden ifade ederiz:
- $\frac{(x^2+3)^5}{10} + C$
Bu sonuç, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
