Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda belirsiz integral alma kurallarını adım adım uygulayarak doğru cevabı bulacağız. Hazırsanız başlayalım!
Öncelikle, integralini alacağımız ifadeyi daha kolay işlem yapabileceğimiz üslü biçimde yazalım. Hatırlayalım ki $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ve $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ şeklinde yazılabilir. Bu durumda, integralimiz şu hale gelir:
$\int (5x^{1/2} - 3x^{-2}) \, dx$
Şimdi integralin temel özelliklerinden olan toplama/çıkarma ve sabit çarpan özelliklerini kullanalım. Yani, her terimin integralini ayrı ayrı alabiliriz ve sabit sayıları integral dışına çıkarabiliriz:
$5 \int x^{1/2} \, dx - 3 \int x^{-2} \, dx$
Sıra geldi integral alma kuralına. Genel olarak, $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ kuralını kullanacağız (burada $n \neq -1$ olmalıdır).
İlk terim için ($5 \int x^{1/2} \, dx$): Burada $n = 1/2$. Kuralı uygulayalım:
$\int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$
Bu sonucu baştaki $5$ ile çarpalım: $5 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{10}{3}x^{3/2}$
İkinci terim için ($-3 \int x^{-2} \, dx$): Burada $n = -2$. Kuralı uygulayalım:
$\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}$
Bu sonucu baştaki $-3$ ile çarpalım: $-3 \cdot (-x^{-1}) = 3x^{-1}$
Şimdi bulduğumuz bu iki terimi birleştirelim ve belirsiz integralin olmazsa olmazı olan integral sabiti $C$'yi ekleyelim:
$\frac{10}{3}x^{3/2} + 3x^{-1} + C$
Son olarak, $x^{-1}$ ifadesini daha yaygın olan $\frac{1}{x}$ şeklinde yazabiliriz:
$\frac{10}{3}x^{3/2} + \frac{3}{x} + C$
Bu sonucu seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
