$f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ fonksiyonunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-\infty, 1)$
B) $(1, 3)$
C) $(3, \infty)$
D) $(-\infty, 3)$
E) $(0, \infty)$
Adım 1: Fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmak için türevini alalım.
Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için, o fonksiyonun birinci türevini almamız ve bu türevin pozitif olduğu yerleri belirlememiz gerekir. Yani, $f(x)$ fonksiyonu, $f'(x) > 0$ olduğu aralıklarda artandır.
Verilen fonksiyon $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$'dir. Şimdi bu fonksiyonun birinci türevini alalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}(6x^2) - \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(1)$
$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9$
Adım 2: Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım.
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için, türevin işaret değiştirdiği noktaları (kritik noktaları) bulmamız gerekir. Bunun için $f'(x)$'i sıfıra eşitleyelim:
$-3x^2 + 12x - 9 = 0$
Bu denklemi daha basit hale getirmek için her tarafı $-3$'e bölelim:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulabiliriz:
$(x - 1)(x - 3) = 0$
Buradan kritik noktalar $x = 1$ ve $x = 3$ olarak bulunur.
Adım 3: Kritik noktaları kullanarak aralıkları belirleyelim ve her aralıkta türevin işaretini inceleyelim.
Kritik noktalar $x=1$ ve $x=3$, sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ ve $(3, \infty)$. Her aralıktan bir test değeri seçerek $f'(x)$'in işaretini inceleyelim:
Aralık $(-\infty, 1)$ için: $x=0$ gibi bir değer seçelim.
$f'(0) = -3(0)^2 + 12(0) - 9 = -9$.
$f'(0) = -9 < 0$ olduğu için, bu aralıkta fonksiyon azalandır.
Aralık $(1, 3)$ için: $x=2$ gibi bir değer seçelim.
$f'(2) = -3(2)^2 + 12(2) - 9$
$f'(2) = -3(4) + 24 - 9$
$f'(2) = -12 + 24 - 9$
$f'(2) = 12 - 9 = 3$.
$f'(2) = 3 > 0$ olduğu için, bu aralıkta fonksiyon artandır.
Aralık $(3, \infty)$ için: $x=4$ gibi bir değer seçelim.
$f'(4) = -3(4)^2 + 12(4) - 9$
$f'(4) = -3(16) + 48 - 9$
$f'(4) = -48 + 48 - 9$
$f'(4) = -9$.
$f'(4) = -9 < 0$ olduğu için, bu aralıkta fonksiyon azalandır.
Adım 4: Fonksiyonun artan olduğu aralığı belirleyelim.
Yaptığımız işaret incelemesine göre, $f'(x) > 0$ olduğu tek aralık $(1, 3)$'tür. Bu nedenle, $f(x)$ fonksiyonu $(1, 3)$ aralığında artandır.
