12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 2

$f(x) = x^2 - 4$ fonksiyonu ile $x$-ekseni arasında, $x=0$ ve $x=2$ doğruları ile sınırlanan alan kaç birimkaredir?

A) $\frac{4}{3}$

B) $\frac{8}{3}$

C) $4$

D) $\frac{16}{3}$

E) $8$

• Problemi Anlayalım: Bizden istenen, $f(x) = x^2 - 4$ fonksiyonu, $x$-ekseni ve $x=0$ ile $x=2$ doğruları arasında kalan alanı bulmaktır. Bu tür alan hesaplamaları için belirli integral kullanırız.
• Fonksiyonun İşaretini Belirleyelim: Alan hesaplamalarında, fonksiyonun $x$-ekseninin üstünde mi yoksa altında mı olduğunu bilmek önemlidir. Eğer fonksiyon $x$-ekseninin altındaysa, integralin sonucu negatif çıkar ve alanı pozitif bulmak için mutlak değerini almamız veya integralin önüne eksi işareti koymamız gerekir.
  • Öncelikle, fonksiyonun $x$-eksenini nerede kestiğini bulalım: $f(x) = x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
  • İlgilendiğimiz aralık $x=0$ ile $x=2$ arasıdır. Bu aralıkta (örneğin $x=1$ noktasında) fonksiyonun değerini kontrol edelim: $f(1) = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
  • $f(1) = -3$ olduğu için, $[0, 2]$ aralığında fonksiyonun $x$-ekseninin altında olduğunu anlarız. Yani, bu aralıkta $f(x) < 0$ dır.
• Alan İçin İntegrali Kuralım: Fonksiyon $x$-ekseninin altında olduğu için, alanı pozitif bir değer olarak bulmak için integralin önüne bir eksi işareti koymalıyız.
  • Alan $= \int_0^2 -f(x) dx = \int_0^2 -(x^2 - 4) dx = \int_0^2 (4 - x^2) dx$.
• Belirli İntegrali Hesaplayalım: Şimdi $\int_0^2 (4 - x^2) dx$ integralini hesaplayalım.
  • İlk olarak, $4 - x^2$ ifadesinin belirsiz integralini alalım: $\int (4 - x^2) dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C$.
  • Şimdi bu ifadeyi belirli sınırlar olan $0$ ve $2$ arasında değerlendirelim: $[4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = \left(4(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4(0) - \frac{0^3}{3}\right)$.
  • Üst sınırı ($x=2$) yerine koyarsak: $8 - \frac{8}{3}$.
  • Alt sınırı ($x=0$) yerine koyarsak: $0 - 0 = 0$.
  • Sonuç: $\left(8 - \frac{8}{3}\right) - 0 = 8 - \frac{8}{3}$.
• Sonucu Sadeleştirelim:
  • $8 - \frac{8}{3} = \frac{8 \times 3}{3} - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

Cevap D seçeneğidir.