Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirli bir eğri ile $x$-ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulmamız isteniyor. Bu tür alan hesaplamaları için belirli integral kavramını kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen eğri $y = x^2$ fonksiyonudur. Alanını bulmak istediğimiz bölge, bu eğri ile $x$-ekseni arasında, $x=1$ doğrusundan $x=3$ doğrusuna kadar olan kısımdır. Yani, integralin alt sınırı $a=1$ ve üst sınırı $b=3$ olacaktır.
Unutmayalım ki, $y=x^2$ fonksiyonu $x=1$ ve $x=3$ aralığında her zaman pozitif değerler alır (çünkü bir sayının karesi negatif olamaz). Bu, eğrinin $x$-ekseninin üstünde olduğu anlamına gelir, dolayısıyla alan hesaplarken mutlak değer almaya gerek kalmaz.
Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ ve $x=b$ arasında $x$-ekseni ile sınırladığı alan, belirli integral ile bulunur:
$A = \int_a^b f(x) \, dx$
Bizim durumumuzda, $f(x) = x^2$, $a=1$ ve $b=3$ olduğundan, alan formülümüz şu şekilde olur:
$A = \int_1^3 x^2 \, dx$
Şimdi integral alma işlemini gerçekleştirelim. $x^n$ fonksiyonunun integrali $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ kuralını kullanarak $x^2$'nin integralini bulalım:
$\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$
Bu, $x^2$'nin ilkel (antiderivatif) fonksiyonudur. Şimdi bu ilkel fonksiyonu belirli sınırlar arasında değerlendireceğiz.
Belirli integralin değeri, ilkel fonksiyonun üst sınırdaki değerinden alt sınırdaki değerinin çıkarılmasıyla bulunur:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3}$
Hesaplamayı tamamlayalım:
$A = \frac{27}{3} - \frac{1}{3}$
$A = \frac{27 - 1}{3}$
$A = \frac{26}{3}$
Bu durumda, eğri ile $x$-ekseni arasında kalan bölgenin alanı $\frac{26}{3}$ birimkaredir.
Cevap A seçeneğidir.
