12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 8. senaryo Test 2

$y = x^3$ eğrisi, $x$-ekseni ve $x=2$ doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) $2$

B) $4$

C) $6$

D) $8$

E) $10$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda belirli integral kullanarak bir eğri ile eksenler arasında kalan alanı nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Bölgeyi Tanımlama

  Öncelikle, alanını bulmamız istenen bölgeyi net bir şekilde anlamamız gerekiyor. Bize verilenler şunlardır:

  • Eğri: $y = x^3$
  • $x$-ekseni: Bu, $y=0$ doğrusudur.
  • Doğru: $x=2$

  Bu üç ifade, bir bölgeyi sınırlar. $x$-ekseni ile eğrinin kesiştiği noktayı bulmalıyız. $y = x^3$ eğrisi $x$-eksenini kestiğinde $y=0$ olur. Yani $x^3 = 0$ ise $x=0$ olur. Bu durumda, alanını bulacağımız bölge $x=0$ ile $x=2$ arasında, $y=x^3$ eğrisi ile $x$-ekseni arasında kalan bölgedir.

• 2. Adım: Fonksiyonun İşaretini Belirleme

  Belirli integral ile alan hesaplarken, fonksiyonun belirli aralıkta $x$-ekseninin üstünde mi yoksa altında mı olduğunu kontrol etmek önemlidir. Eğer fonksiyon $x$-ekseninin üstündeyse (yani pozitif değerler alıyorsa), integral doğrudan alanı verir. Eğer altındaysa (yani negatif değerler alıyorsa), integralin mutlak değerini almamız gerekir.

  Bizim aralığımız $x=0$ ile $x=2$ arasıdır. Bu aralıktaki herhangi bir $x$ değeri için $x^3$ ifadesi pozitif veya sıfırdır (örneğin, $x=1$ için $y=1^3=1$, $x=2$ için $y=2^3=8$). Dolayısıyla, $y = x^3$ eğrisi bu aralıkta $x$-ekseninin üstündedir. Bu da demek oluyor ki, alanı bulmak için doğrudan belirli integrali hesaplayabiliriz.

• 3. Adım: İntegrali Kurma

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ ile $x=b$ arasında $x$-ekseni ile sınırladığı alan, $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ belirli integrali ile bulunur. Bizim durumumuzda $f(x) = x^3$, alt sınır $a=0$ ve üst sınır $b=2$'dir.

  Alan $A = \int_{0}^{2} x^3 \,dx$ şeklinde ifade edilir.

• 4. Adım: İntegrali Hesaplama

  Şimdi belirli integrali hesaplayalım:

  • Önce $x^3$ fonksiyonunun belirsiz integralini (ters türevini) bulalım. Üs kuralına göre, $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ şeklindedir.
  • Bu durumda, $\int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$ olur.
  • Şimdi bu ifadeyi belirli integralin sınırları arasında değerlendirelim (Newton-Leibniz formülü):
  • $A = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$
  • Üst sınırı yerine koyalım: $\frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$
  • Alt sınırı yerine koyalım: $\frac{0^4}{4} = \frac{0}{4} = 0$
  • Son olarak, üst sınır değerinden alt sınır değerini çıkaralım: $A = 4 - 0 = 4$
• 5. Adım: Sonucu Belirtme

  Hesaplamalarımız sonucunda, $y = x^3$ eğrisi, $x$-ekseni ve $x=2$ doğrusu arasında kalan bölgenin alanı $4$ birimkare olarak bulunmuştur.

Cevap B seçeneğidir.